- •Раздел «линейная и векторная алгебра»
- •1.Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.
- •2.Определители 2-го, 3-го, n-го порядков, их свойства, способы вычисления.
- •3.Алгебраические дополнения и миноры. Правило Крамера.
- •4.Матрицы, линейные операции над ними и их свойства. Умножение матриц.
- •5.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие ее существования и методы вычисления.
- •6.Понятие n-мерного векторного пространства.
- •7.Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8.Теорема о базисном миноре.
- •9.Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
- •10.Векторы, линейные операции над ними. Длина вектора. Линейная зависимость
- •11.Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •2. Раздел «аналитическая геометрия»
- •1.Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.
- •2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,
- •3. Общее уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до
- •4. Различные формы уравнения прямой в пространстве (канонические,
- •5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола,
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические
- •7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,
- •1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
- •Т.Е. Новые координаты точки м(х'у') равны ее старым координатам минус координаты нового начала. Обратно, из (1.1.1) находим
- •3. Введение в математический анализ
- •1. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества.
- •2.Предел числовой последовательности. Единственность предела.
- •3. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции.
- •4. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел.
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение
- •6. Предел суммы, произведения и частного функции.
- •7. Первый замечательный предел.
- •8.Второй замечательный предел. Число "е".
- •9.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.
- •10.Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
- •11.Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
- •12.Производная функции, ее геометрический смысл.
- •13.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •14.Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •15.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •16.Раскрытие неопределенностей, правила Лопиталя.
- •17.Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции.
- •18. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.
- •4. Функции многих переменных
- •1.Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
- •2.Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал ф.М.П.
- •3.Дифференцирование сложных ф.М.П. Производная по направлению.
- •4.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.
- •5.Экстремумы ф.М.П. Достаточное условие экстремума.
9.Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат OXYZ. Выделим на координатных осях ОХ, ОY и OZ единичный вектор (орт) И обозначим их i, j, k.
M3
M
a
k
j M2
i 0
M1 N
Выберем произвольный вектор а и совместим его начало с начало координат а = │ОМ│. Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости параллельно координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим соответственно М1, М2, М3., получим прямоугольный параллепипед , одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда: прха = │ОМ1│, прy│ОМ 2│, прz│ОМ3│. По определению суммы нескольких векторов находим: a = OM1 + М1N + NM. Т.к. М1N = OM2; NM = OM3, то
а = OM1 + OM2 + OM3 (1)
Но OM1 = │OM1│i; OM2 = │OM2│j; OM3 = │OM3│k (2)
Обозначи м проекцию а = ОМ, на оси ОХ, ОY и ОZ, соответственно ах, аy и аz, то есть OM1 = ах ; OM2 = аy ; OM3 = аz. Из равенства (1) и (2) получаем:
а = ахi + аyj + аzk (3)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, аy и аz называются координатами вектора а, то есть координаты вектора - есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (3) часто записывают в символическом виде: а (ах; аy; аz). Равенство b (bх; by; bz) означает что b = bхi + byj + bzk. Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании о длине диагонали прямоугольного парралелепипеда: │ОМ│2 = │OM1│2 + │OM2│2 + │OM3│2. Отсюда имеем:
(4)
Пусть углы вектора а с осями ОХ, OY и OZ ,соответственно, равны α, β и γ. По свойству проекций вектора на ось имеем:
Следовательно:
(5)
Числа cosα, cosβ и cosγ называются направляющими косинусами вектора а. Подставим выражение (5) в равенство (4):
сosα2 + cosβ2 + cosγ2 = 1
То есть сумма квадратов направляющих косинусов нулевого вектора равна 1. Легко заметить, что координатами единичного вектора е (cosα; cosβ; cosγ)
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление (то есть сам вектор).
Действия над векторами, заданными проекциями.
Пусть векторы а = (ах; аy; аz) и b = (bх; by; bz) заданы своими проекциями на оси координат OX, OY и OZ или что тоже самое:
а = ахi + аyj + аzk
b = bхi + byj + bzk
-
Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:
Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим .
-
Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или
-
Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. .
-
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .
Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но .
Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
-
Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:
.
Доказательство. Пусть угол между вектором и осью .
Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол .
При λ > 0 .
Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и .
Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.