2. Уравнения гидродинамики и их интегрирование

Теоретической основой аэрогидромеханики являются уравнения движения жидкости, рассматриваемые в рамках той или иной ее физической модели. Для решения задач механики жидкости и газа применяются точные и приближенные математические методы интегрирования дифференциальных уравнений. Для получения характеристик явлений используют общие теоремы и законы механики: теоремы количества и момента количества движения, законы сохранения массы и энергии и другие. Значительная сложность изучаемых явлений побуждает исследователей широко использовать эксперимент, обобщение результатов которого приводит к эмпирическим закономерностям, а иногда и к полуэмпирическим теориям.

2.1. Кинематика потоков жидкости. Уравнение сохранения массы Основные понятия кинематики жидкости

Кинематика изучает движение жидкости, не интересуясь причина­ми, которые его вызвали.

Существует два подхода для описания движения.

В подходе Лагранжа рассматривается движение каждой отдельной жид­кой частицы. Движение считается определенным, если в каждый мо­мент времени для каждой частицы известны уравнения, описываю­щие ее путь во времени.

В подходе Эйлера изучается изменение параметров потока в фикси­рованных точках пространства. В настоящем курсе используется подход Эйлера.

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.

. (2.1)

В противном случае движение жидкости называется неустановившимся (нестационарным):

. (2.2)

Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке совпадают по направлению с касательными:

, или . (2.3)

Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальные уравнения траектории суть

. (2.4)

Из сопоставления (2.3) и (2.4) следует, что при неустановившемся д

Рис. 2.1. Трубка тока

вижении линии тока и траектории не совпадают.

В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур и через все точки его периметра проведем линии тока (рис. 2.1).

Образованная таким образом поверхность носит название трубки тока.

Л. Эйлером, одним из основателей аэрогидромеханики, была введена в рассмотрение струйная модель потока. Основу этой модели составляет понятие о струйке, под которой понимают жидкость, протекающую внутри трубки тока. Очевидно (по построению), что струйка ведет себя как трубка с непроницаемыми стенками. Поперечное сечение струйки мало, поэтому можно допустить, что в пределах сечения все частицы движутся с одинаковыми скоростями либо, что то же, эпюра скоростей в сечении представляет собой цилиндр для трехмерн

Рис. 2.2. Схема потока в струйке

ой струйки или прямоугольник – для плоской (двумерной).

На рис. 2.2 показаны эпюры скорости для двух произвольно выбранных сечений плоской струйки. Совокупность струек, заполняющих поперечное сечение канала конечных размеров, образует поток.

При рассмотрении потока поперечные сечения часто выбирают так, чтобы пересекающие их линии тока были нормальны к ним. В этом случае сечение потока называется живым сечением. Если линии тока параллельны, то живое сечение – плоское.