Интеграл Бернулли для потока весомой несжимаемой вязкой жидкости

Займемся обобщением интеграла Бернулли на случай движения тяжелой вязкой жидкости.

Исходим из того, что движение установившееся и в рассматри­ваемом сечении поток слабо деформирован. (Под слабодефор­миро­ванными понимают потоки, у которых угол расхождения линий тока мал, а радиус кривизны – велик.)

Определим энергию, проносимую секундной массой струйки через сечение (т.е. мощность струйки). Эта величина может быть найдена как произведение полной удельной энергии струйки на ее массовый расход (). Таким образом,

. (2.43)

Секундная энергия (мощность) потока в соответствии со струйной моделью

(2.44)

либо

. (2.45)

Так как поток слабодеформированный, то и после преобразований получаем

. (2.46)

По физическому смыслу второй член в (2.46) представляет собой кинетическую энергию секундной массы. Отсюда, разделив обе части уравнения на массовый расход потока , получим удельную энергию

или

, (2.47)

где – коэффициент Кориолиса, представляющий собой отношение кинетической энергии потока, вычисленной по истинному распределению скоростей, к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости.

Разделив обе части (2.47) на ускорение свободного падения , выразим это соотношение в единицах длины, т.е. в форме напоров

.

Р

Рис. 2.8. К выводу обобщенного интеграла Бернулли

ассмотрим движение потока вязкой жидкости в канале (рис. 2.8) от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим удельную энергию потока в сечении 1-1 через , а в 2-2 – .

Так как жидкость вязкая, то процесс ее перемещения сопровождается диссипацией энергии, т.е. какая-то ее часть расходуется на преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, следовательно, . Поэтому баланс энергии для выбранных сечений должен быть записан в виде

, (2.48)

где – потери энергии.

Раскрывая значения и , получаем:

. (2.49)

Это и есть энергетическая форма интеграла Бернулли для потока вязкой жидкости.

В практических приложениях чаще используют интеграл Бернулли, выраженный в напорах

, (2.50)

где – потери напора.

Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при расчетах систем гидравлического привода обычно используют уравнение Бернулли в форме давлений

, (2.51)

где – потери давления. Как правило, в упомянутых системах член оказывается пренебрежимо малым по сравнению с остальными. В этих случаях (2.51) принимает вид

. (2.52)

3. Основы гидравлики

Предметом изучения в гидравлике служат законы движения жидкостей в открытых и закрытых каналах, гидротехнических сооружениях и гидромашинах, имеющие направленность на решение широкого круга вопросов инженерной практики. Теоретической основой гидравлических расчетов служит обобщенный интеграл Бернулли в форме (2.49) – (2.52).

3.1. Гидравлические потери На распределенных и местных сопротивлениях Разделение гидравлических потерь

Большинство реальных течений в трубах носит турбулентный характер, при котором величина потерь напора почти всегда пропорциональна квадрату средней скорости движения жидкости. По этой причине потери напора принято исчислять в долях от скоростного напора:

, (3.1)

где – коэффициент гидравлического сопротивления.

Потери напора подразделяют на две категории:

• потери напора, распределенные вдоль всего канала, по которому перемещается жидкость (трубопровод, канал, русло реки и др.), эти потери пропорциональны длине канала и называются потерями напора по длине: ;

• местные потери, или потери напора на местных гидравлических сопротивлениях. Этот вид потерь напора также принято исчислять в долях от скоростного напора:

.

Полные потери напора равны сумме потерь напора всех видов:

. (3.2)