5. Пограничный слой. Обтекание тел

ознакомимся с основными положениями теории пограничного слоя и некоторыми особенностями обтекания тел потоками вязкой жидкости.

5.1. Основы теории пограничного слоя Понятие о пограничном слое

Опыты показывают, что при обтекании тела (рис. 5.1) поток можно условно разделить на две области:

• пристенную область малой толщины, где влияние сил вязкости сопоставимо с влиянием сил инерции, – пограничный слой (ПС);

• область внешнего потока, где влияние сил вязкости пренебрежимо мало.

Внутри ПС скорость резко возрастает от нуля на стенке до величины, практически равной скорости набегающего потока, на его границе.

Под толщиной пограничного слоя подразумевают расстояние по нормали до стенки, на котором продольная скорость течения обычно достигает 99 % скорости внешнего потока .

Несмотря на малость толщины пограничного слоя () структура течения в нем в значительной мере влияет на сопротивление обтекаемого тела, его подъемную силу, аэродинамический нагрев и другие характеристики.

Рис. 5.1. Пограничный слой на плоской пластине

Различают ламинарные и турбулентные пограничные слои в зависимости от ламинарного или турбулентного режима течения в них. Основным условием образования динамического ламинарного пограничного слоя является большое значение числа Рейнольдса , не достигающее, однако, той критической величины, при которой режим течения в пограничном слое становится турбулентным.

Уравнения двумерного пограничного слоя

В 1904 году Л. Прандтль представил в Гейдельберге Международному конгрессу математиков доклад, в котором изложил метод упрощения уравнений Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрим обтекание слабоизогнутой пластины несжимаемым потоком. Уравнения Прандтля в этом случае имеют вид:

, (5.1)

. (5.2)

На поверхности пластины и вдали от нее должны выполняться следующие условия:

, при , при ; (5.3а)

, при . (5.3б)

Здесь – скорость внешнего течения, связанная с распределением давления уравнением Эйлера:

. (5.4)

Целью интегрирования уравнений ПС (5.1)–(5.4) является получение поля скоростей. Зная распределение скорости, можно вычислить следующие важные для практики характеристики:

• напряжение трения на стенке

; (5.5)

• коэффициент трения

; (5.6)

• силу сопротивления поверхности, имеющей длину и ширину

; (5.7)

• коэффициент сопротивления

, (5.8)

где – характерная площадь, например площадь поверхности в плане .

Течение Блазиуса

В качестве примера рассмотрим стационарное обтекание плоской пластины. В этом случае скорость внешнего потока постоянна, , т. е. согласно (5.4) и уравнение движения (5.3) принимает вид

. (5.9)

Относительную скорость ищем в виде

,

где толщина ПС . Вводя функцию тока согласно (2.49), систему уравнений (5.9), (5.2) и (5.3) сводим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения. Решение последней задачи дает зависимости

, , , . (5.10)

Здесь – местное число Рейнольдса; – толщина вытеснения масс в пограничном слое, учитывающая смещение линий тока из-за наличия вязкости (торможение жидкости в пограничном слое),

. (5.11)

Аналогично для оценки потерь количества движения на преодоление трения вводится толщина потери импульса ,

. (5.12)

Пример 5.1. Воздух с 15С, 1.29 кг/м³ течет вдоль пластины (1 м, 2 м) со скоростью 5 м/с. Определить: а) толщину ПС на расстоянии 0.25 и 1 м от передней кромки; б) силу сопротивления трения пластины.

Решение. Используем (5.9) и (5.10):

а) 0.0041  4 мм,

0.0083  8 мм;

б)