![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Уравнение прямой и плоскости в пространстве
Плоскость – линейное многообразие
размерности 2. Плоскость в пространстве
задаётся одним уравнением
.
Подпространство, соответствующее
плоскости, задаётся однородным уравнением
.
В ортонормированном базисе левая часть
уравнения является скалярным произведением
вектора
и вектора плоскости
.
Таким образом, множество векторов
плоскости состоит только из тех векторов,
которые ортогональны вектору нормали
.
Расстояние от точки
до плоскости
равно
. Следовательно, коэффициент
определяет удалённость плоскости от
начала координат
Прямая в пространстве задаётся системой
из двух уравнений (см. раздел 7.9)
,
причём ранг матрицы, образованной
коэффициентами при неизвестных, равен
2. Разберём геометрический смысл
коэффициентов. Представив прямую как
пересечение двух плоскостей, приходим
к выводу, что векторы
и
образуют базис плоскости перпендикулярной
исходной прямой.
-
Евклидово пространство. Скалярное произведение.
Пусть V линейное пространство
над полем вещественных чисел. Функция
,
ставящая каждой паре векторов в
соответствие число, называется скалярным
произведением если выполнены аксиомы
-
Линейность по первому аргументу
.
-
Симметричность:
-
Положительная определенность
при
.
Пространство над полем вещественных чисел в котором введено скалярное произведение называется евклидовым.
Величина
называется длиной вектора.
Пусть
базис V. Выразим скалярное
произведение векторов через координаты
векторов. Координаты вектора x
в базисе e обозначим через
.
Тогда
.
Пользуясь свойством линейности выводим
.
Используя симметричность скалярного
произведения и линейности по первому
аргументу выводим
.
Обозначим через G матрицу
Грама базисных векторов, то есть матрицу
на пересечении строки i
столбца j стоит скалярное
произведение i-го и j-го
вектора
.
Используя матричные операции умножения
получаем
.
-
Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
Допустим, в евклидовом пространстве V
заданы два базиса
и
.
Обозначим через
матрицу перехода, связывающие координаты
вектора в разных базисах. Пусть для
определённости
.
Скалярное произведение не зависит от
выбора базиса, поэтому
.
Подставим в правую часть равенства
вместо координат вектора в базисе e
их выражение через координаты в базисе
f. В результате придём к
равенству
.
Поскольку полученное равенство
справедливо для любых векторов x
и y, то выводим
.
-
Ортогональность.
Определение 9.38. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.
Теорема 9.50 (Пифагора).
Пусть векторы x и y
ортогональны, тогда
.
Доказательство.
,
т.к.
в силу ортогональности.
Теорема 9.51 (неравенство
Бесселя). Пусть векторы x
и y ортогональны, тогда
.
Доказательство.
По теореме Пифагора
.
Поскольку
,
то
,
что и требовалось.
Теорема 9.52 (неравенство
Коши-Буняковского-Шварца).
.
Доказательство. Для
любого a
справедливо неравенство
.
Раскроем левую часть
.
В левой части неравенства записан
квадратный трехчлен. Выделим из него
полный квадрат
.
Положив
получим неравенство
из которого вытекает
.
Извлекая квадратный корень, получаем
требуемое.
Неравенство
Коши-Буняковского-Шварца позволяет
ввести угол между векторами, то есть
косинус угла равен отношению
.
Определение 9.39 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.
Свойство 9.32. Ортогональная система векторов линейно не зависима.
Доказательство. Пусть
- ортогональная система векторов и
.
Тогда
.
Таким образом
и система векторов линейно независима.
-
Процесс ортогонализации.
Пусть
линейно не зависимая система векторов.
Следующий процесс позволяет строить
эквивалентную ей ортогональную систему
векторов:
Положим
,
…,
…
.Ортогональность построенной системы
проверяется непосредственно. Процесс
может остановиться только в случае
,
что невозможно в силу линейной
независимости векторов
.
-
Геометрический смысл определителя матрицы Грама.
Определитель матрицы Грама от системы
векторов
равен 0, если система линейно зависима,
и квадрату объема k-мерного
параллелепипеда натянутого на векторы
иначе.
-
. Ортогональное дополнение.
Определение 1. Ортогональным дополнением к подпространству W пространства V называется множество всех векторов ортогональных каждому вектору из W.
Утверждение 1. Пространство раскладывается в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
Следствие 9.28. Любое подпространство арифметического пространства может быть задано системой однородных линейных уравнений.
-
. Расстояние.
Расстоянием между множествами X
и Y называется
.
Расстояние между линейными многообразиями достигается на общем перпендикуляре.
Расстояние между линейным подпространством
и
точкой
равно
.
Расстояние между точкой x
и гиперплоскостью ax=b
равно
.