![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений
Ax=b, где
матрица A невырожденная.
Умножим слева это равенство на обратную
матрицу, придем к равенству
.
Решение системы существует и единственно.
Элемент обратной матрицы, расположенный
на пересечении строки i
и столбца j равен
.
Следовательно, i-ая
компонента x равна
.
Сумма
является разложением по столбцу i
определителя матрицы, отличающейся от
A столбцом i,
равным b. Обозначим через
значение этого определителя. Тогда
.
Оформим полученные результаты в виде
теоремы.
Теорема 6.34 (Правило
Крамера). Квадратная система уравнений
с невырожденной матрицей имеет
единственное решение, компоненты
которого находятся по формулам
,
где
значение определителя матрицы,
отличающейся от A столбцом
i, равным b.
-
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как перестановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A слева на некоторую матрицу, соответствующую элементарному преобразованию. Выпишем некоторые такие матрицы с описанием элементарных преобразований.
-
Перестановка строк i и j эквивалентна умножению слева на матрицу, которая получается из единичной матрицы перестановкой i и j строк.
-
Умножение строки i на число a эквивалентно умножению слева на матрицу, отличающейся от единичной только одним элементом, стоящим на пересечении i строки и столбца и равного a.
-
Прибавление к i-ой строке j-ой, умноженной на число a равно сильно умножению слева матрицу, отличающейся от единичной только элементом, стоящим на пересечении i-ой строки и j-го столбца и равного a.
Аналогично, преобразования над столбцами матрицы эквивалентны умножению справа на матрицы элементарных преобразований.
-
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная
матрица. Рассмотрим задачу построения
обратной матрицы. Припишем справа к
матрице A единичную
матрицу. Элементарными преобразованиями
строк добьемся, что бы на месте матрицы
A располагалась единичная
матрица. С точки зрения матричных
операций получим равенство
,
где
матрицы элементарных преобразований.
Положим
.
Равенство
равносильно равенствам
и
.
Из этих равенств делаем вывод, что B
– обратная матрицы к матрице A.
Совершенно аналогично, если припишем единичную матрицу снизу к матрице A, а затем элементарными преобразованиями столбцов добьемся чтобы на месте матрицы A стояла единичная матрица, то на месте единичной матрицы будет стоять обратная к A матрица.
-
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строении матрицы. Использование блочного строения матриц позволяет строить более эффективные алгоритмы.
Теорема 6.35. Умножение блочных матриц.
Пусть матрица A имеет блочное
строение
,
а матрица B имеет блочное строение
,
причем размеры блоков согласованы так,
что существует произведение
при любых i,j,r. Тогда произведение
матриц C=AB будет иметь блочное
строение
,
причем
.
Последнее выражение имеет такой же вид,
как если бы умножали матрицы с числовыми
элементами.
Доказательство. Элемент блочной
матрицы A, расположенный
в блоке
на пересечении строки r
и столбца s обозначим
через
.
По определению произведения матриц,
имеем
,
где
- количество столбцов в блоке
(по условиям теоремы это число совпадает
с количеством строк блока
).
Сумма
является элементом матрицы
,
расположенным на пересечении строки r
и столбца s. Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Использования блочного представления матриц позволяет получать более эффективные алгоритмы для решения задач линейной алгебры.