![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
. Прямая сумма подпространств. Проекция.
Определение 7.34 Сумма
подпространств
и
называется прямой, если
.
Обозначение прямой суммы
.
Теорема 7.42. Пусть
.
Тогда любой вектор
из
V
единственным образом представляется
в виде суммы векторов из подпространств
и
,
x=y+z.
Вектор y
называется проекцией x
на
параллельно
,
а вектор z
называется проекцией x
на
параллельно
.
Доказательство.
Допустим, найдётся вектор
,
который раскладывается в сумму векторов
из подпространств
и
не единственным образом. Пусть
,
где
и
. Тогда справедливо равенство
,
в левой части которого стоит вектор из
,
а в правой – вектор из
.
Поскольку пересечение этих подпространств
состоит только из нулевого вектора, то
,
и, значит, a=c,
b=d.
Следствие 7.23. Если
сумма прямая, то
и базис
получается
объединением базисов V
и W.
Доказательство.
По определению прямой суммы размерность
пересечения равна нулю, и, значит,
(Теорема 7 .41). Обозначим через
базис V,
а через
- базис W.
Покажем линейную независимость системы
векторов
.
Допустим, найдутся коэффициенты, что
,
тогда справедливо равенство
.
Поскольку в левой части равенства стоит
вектор из V,
а в правой – вектор из W,
то
и
,
и, значит, все коэффициенты равны нулю.
Число векторов в линейно независимой
системе векторов
совпадает с размерностью суммы
пространств, следовательно, она является
базисом.
-
Изменение координат вектора при изменении базиса.
Пусть в пространстве V
заданы два базиса:
и
.
Координаты вектора x в
этих базисах обозначим через
и
соответственно. Установим связь между
координатами вектора в различных
базисах. Выразим векторы первого базиса
через векторы второго:
.
По определению координат
.
Подставим вместо векторов базиса e,
их выражения через векторы базиса f,
получим равенство
.
Преобразуем левую часть равенства
(поменяем порядок суммирования)
.
В силу единственности координат вектора
выводим равенства
,
или в матричном виде
,
где на пересечении строки i
и столбца j матрицы P
стоит
.
Матрица P называется
матрицей перехода. Отметим, что в j
столбце матрицы P стоят
координаты вектора
в базисе f.
Обозначим через
матрицу перехода от базиса e
к базису f. Равенство
справедливо для всех векторов x.
Следовательно,
,
или
.
В качестве следствия из этого равенства
и условия существования обратной матрицы
выводим невырожденность матрицы
перехода. Обратно, пусть матрица P
– невырожденная. Положим
.
Система векторов
образует базис в пространстве V.
Действительно, поскольку матрица P
невырожденная, то к ней существует
обратная матрица
.
Далее,
(выражение
представляет собой элемент произведения
матриц PT=E,
стоящий на пересечении строки s
и столбца i). Поскольку
каждый вектор из базиса e
линейно выражается через векторы системы
f, то система f
является полной, а т.к. система состоит
из n векторов, то она
является минимальной, а, значит, образует
базис пространства. Матрицей перехода
от базиса e к базису f
является матрица P.
Рассмотрим систему векторов
из арифметического пространства
.
Матрицу, составленную из столбцов
,
обозначим A.
Теорема 7.43 Критерий линейной независимости системы векторов.
Система векторов
из арифметического пространства
является линейно зависимой тогда и
только тогда, когда определитель матрицы
равен нулю.
Доказательство. Если система
линейно зависима, то найдутся числа
не все равные нулю, что
.
Не нарушая общности можно считать, что
(иначе перенумеруем векторы), и
(иначе поделим все числа на
).
Определитель не изменится, если к первому
столбцу прибавить остальные столбцы с
коэффициентами
,
а определитель матрицы, содержащий
нулевой столбец равен нулю. Таким
образом, если система векторов линейно
зависима, то определитель матрицы равен
нулю. Если матрица A
невырожденная, её можно рассматривать
как матрицу перехода от базиса
к
.
Система векторов
из арифметического пространства
является линейной независимой тогда и
только тогда, когда её можно дополнить
до базиса всего пространства какими то
векторами из системы
.
По доказанной теореме, система
образует базис в том и только том случае,
если определитель матрицы
отличен от нуля. Определитель этой
матрицы, с точность до знака, совпадает
с минором k-го порядка
матрицы
,
получающегося вычёркиванием строчек
с номерами
.
Следовательно, система векторов
является линейно зависимой тогда и
только тогда, когда все миноры k-го
порядка матрицы
равны нулю. Оформим полученный результат
в виде теоремы.
Теорема 7.44 Система
линейно зависима тогда и только тогда,
когда все миноры k-го
порядка матрицы
равны нулю.