- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
Лекции по ГА 1 семестр (спец. Пи)
-
Числа.
-
Натуральные числа
-
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количеством чёрточек, равных этому числу, то под операцией + можно понимать просто приписывание очередной чёрточки. Далее, операция + распространяется на всё множество натуральных чисел. Операция + равносильна приписыванию к одной последовательности чёрточек, обозначающей первое слагаемое, другой последовательности чёрточек, обозначающей второе слагаемое. Отметим свойства данной операции
-
(a+b)+c=a+(b+c) - ассоциативность
-
a+b=b+a – коммутативность
Кроме операции + на множестве натуральных чисел определяется операция *. Операция определяется через сложение . Свойства операции умножения:
-
a*(b*c)=(a*b)*c – ассоциативность
-
a*b=b*a – коммутативность
-
a*(b+c)=a*b+a*c - дистрибутивность
-
Метод математической индукции.
Тот факт, что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве математических утверждений. Допустим, у нас имеется серия утверждений, пронумерованных натуральными числами A1,…,An… , и установлена истинность утверждения A1 (основание мат. индукции), а так же показана справедливость посылки An-1An в предположении истинности утверждений A1,…,An-1 для любого натурального числа n. Выполнение этих условий гарантирует истинность всех утверждений A1,…,An . Для примера покажем справедливость формулы .
При n=1 формула принимает вид , верно. Пусть формула верна для n-1. Покажем её справедливость для n. Следующий пример связан с биномом Ньютона.
-
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовыми коэффициентами. Например: (a+b)2=a2b0+2ab+a0b2. В общем случае можно записать , где - числовой коэффициент. Из тождества (a+b)n=(a+b)(a+b)n-1 выводим равенства и , которые позволяют строить треугольник Паскаля. Приведём первые его 4 строки . Число, расположенное в треугольнике Паскаля на пересечении строки n и столбца m, равно
-
1, если m=0, или m=n,
-
сумме элементов предыдущей строки, расположенных в столбцах m и m-1, если .
Таким образом, элементы треугольника Паскаля суть биномиальные коэффициенты. В частности .
Обозначим через произведение натуральных чисел от 1 до n. Для удобства обозначений положим .
Теорема 1.1 Биномиальный коэффициент вычисляется по формуле .
Доказательство проводится индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно. Пусть оно верно при n-1. Покажем его справедливость для n. Если m=0, то . Если m=n, то . Если , то . По предположению индукции . Теорема доказана.
-
Целые числа
Решение уравнений вида a+x=b приводит к получению целых чисел Z. При этом следует отметить, что уравнение a+c+x=b+c имеет то же самое решение. На множество целых чисел естественным образом переносятся операции + и *, обладающими теми же самыми свойствами.
-
Рациональные числа
Решение уравнений вида a*x=b (a0) приводит к получению рациональных чисел Q. Уравнение a*c*x=b*c имеет то же самое решение. На множество рациональных чисел естественным образом переносятся операции + и *.