Обґрунтування методу Фур’є.
Для обґрунтування методу
відокремлення змінних необхідно
показати, що ряд (6.14) збігається рівномірно
і його можна почленно диференціювати
два рази по
і
.
Теорема. Якщо
на відрізку
,
два рази неперервно
диференційовна, має кусково неперервну
третю похідну і задовольняє умовам
(6.15),
а
неперервно диференційовна на
,
має кусково-неперервну
другу похідну і задовольняє умовам
узгодженості (6.4), то функція
,
визначена рядом (6.14), має неперервні
похідні до другого порядку включно і
задовольняє рівняння (6.1) і умови (6.2),
(6.3). При
цьому ряд (6.14) можна почленно диференціювати
два рази по
та
,
і одержані ряди збігаються абсолютно
і рівномірно при
,
.
Доведення.
Зауважимо, що згідно теореми Стеклова
ряди Фур’є
збігаються абсолютно і рівномірно, а
значить збігаються і в середньоквадратичному
тобто має місце рівність Парсеваля –
Стеклова
Інтегруючи у виразах для
і
по частинах і беручи
до уваги (6.4), (6.15), маємо:
або в розгорнутому вигляді маємо:
Оскільки
,
то з нерівності Бесселя випливає
Підставляючи одержані результати в (6.14), маємо
(6.16)
Ряд (6.16) мажорується рядом
,
який збігається за ознакою Діріхле, а
отже, на основі ознаки Вейєрштраса ряд
(6.16) збігається рівномірно і абсолютно
в області
.