Нахождение следствий из данных посылок.

Мы научились определять, является ли данная формула логическим следствием некоторых других данных формул. Теперь возникает вопрос, как можно находить все формулы, являющиеся логическим следствием данной совокупности формул. Следующая теорема дает ключ к решению этой задачи.

Теорема 6.19. Формула Н(ХХ, ..., Хп), не являющаяся тавтологией, тогда и только тогда будет логическим следствием формул FX(XX, ..., Хп), ..., Fm(Xx, ..., Хп), не все из которых являются тавтологиями, когда все совершенные дизъюнктивные одночлены из разложения формулы Не совершенную конъюнктивную нормальную форму входят в совершенную конъюнктивную нормальную форму формулы ад, -, хп) а ... л Fm{xb ..., хп).

Доказательство. Необходимость. Дано: Fb..., Fm*= HТогда, по теореме 6.4, Fx л ... л Fm *= Н Найдем для формул Fx л ... л Fm и Яих совершенные конъюнктивные нормальные формы. Такая форма для каждой не тождественно истинной формулы существует и единственна с точностью до порядка совершенных дизъюнктивных одночленов в конъюнкции (см. теорему 5.5). Пусть Dx л ... л Dk — СКН-форма для формулы Fx л ... л Fm9 а Нх л ... л Я7— СКН-форма для формулы Н Тогда: Fx л ... л Fm = Д л ... л Dk, Н= Нх л ... л Ht.

Допустим, что заключение теоремы не выполняется, т. е. среди совершенных дизъюнктивных одночленов Нъ ..., Я/ имеется такой, которого нет среди совершенных дизъюнктивных одночленов Du ..., Dk. He нарушая общности (ввиду несущественности порядка вхождения одночленов Яь ..., Я/ в СКН-форму Нх л ... л Я/), можем считать, что таким одночленом является, например, Нх. Итак, ВД, ..., Хп) Z DX(XX, ..., Хп), ..., НХ(ХЬ ..., Хп) 2 Dk(Xx, ..., Хп). Тогда существует единственный (с точки зрения логических значений) набор Аи ..., Ап, на котором совершенный дизъюнктивный одночлен Нх{Хи ..., Хп) принимает значение 0: Х(НХ(АХ, ..., Ап)) = 0, откуда

ЦЩАХ, ..., Л)) = 0. (1)

Этот набор выбирается следующим образом. Если переменная Х{ входит в Нх без знака отрицания, то А,- таково, что X(Aj) = 0; если X,- входит в Нх со знаком отрицания, то А,- таково, что \(Aj) = 1 (1 < / < п). Каждый из совершенных дизъюнктивных одночленов Du ..., Dk в силу его отличия от совершенного дизъюнктивного одночлена Нх обращается на данном наборе в 1 (почему?): UDX(AX, ..., Л)) = 1,..., 4Dk(Au ..., Л)) = 1. Тогда X(DX(AU ..., Ап)) л... л Dk(Ax, ..., Ап)) = 1, откуда, в силу равносильности Dx л ... л Dk = s F, л ... л Fm получаем X(FX(AX, ..., Л) а ... л Fm(Au ..., Л)) = 1. Следовательно, А,(/!(Л,, ..., Ап)) л ... лЦ/^Ль ..., А„)) = 1, а значит,

..., Л)) = 1, .-, M^Wi, ..., Ап)) = 1. (2)

Соотношения (1) и (2) противоречат условию: Fx, ..., Fm *= Н Следовательно, в СКН-форме формулы Н нет ни одного совершенного дизъюнктивного одночлена, который отсутствовал бы в СКН-форме формулы Fx л ... л Fm.

Достаточность. Пусть Dx л ... л Dk — СКН-форма формулы Fx л ... л Fm. Тогда F\ л ... л Fm = Dx л ... л Dk. Пусть далее #= Д, л ... л /)/5, где 1 < /ь ..., is < к и /l5 ..., /, попарно различны. Тогда ясно, что если при некоторой подстановке формула fl л ... л Fm принимает истинное значение, то и равносильная ей формула Dx л ... л Dk также принимает значение 1. Следовательно, и все члены Du ..., Dk последней конъюнкции принимают значение 1, включая члены Di{9..., Dis. Но тогда и конъюнкция Dix л ... л Dis = Н также принимает значение 1. Значит, Fu ..., Fm »= Я. П

Эта теорема определяет следующее правило (алгоритм) для нахождения всех (неравносильных) формул, являющихся логическими следствиями из посылок Fl9 ..., Fm: 1) составить конъюнкцию Fx л ... л Tv,; 2) найти СКН-форму формулы Fx л ... л Fm\ Ъ) выписать все совершенные дизъюнктивные одночлены найденной СКН-формы, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов. Полученное множество формул и является искомым (см. Задачник, № 2.34, л).