Правила логических умозаключений.

Теперь можем рассмотреть примеры структур правильного мышления, т.е. ответить на вопрос, что из чего следует.

Начнем с тавтологии из теоремы 3.1,/с: t= (Fa(F-> G)) -> G. (На основании замечания 3.7 пропозициональные переменные Р и Q заменены произвольными формулами Fn G алгебры высказываний.) На основании теоремы 6.4 заключаем, что F, /*-> G*= G. Полученную схему, или правило вывода (умозаключения), также называют правилом modus ponens.

Правило 6.8 {modus ponens): ' .

G

Это правило означает, что от утверждения об истинности посылки F с помощью другой посылки F -» G переходят к утверждению об истинности следствия G. Данное правило называют также правилом заключения или отделения (от посылки F -> G с помощью посылки Fотделяется заключение G). По теореме 3.5 правилу 6.8 можно придать несколько иной смысл: если формулы, стоящие в числителе, являются тавтологиями, то и формула в знаменателе — также тавтология.

Не менее важное и широко применяемое в рассуждениях правило умозаключения получается на основе тавтологии теоремы 3.1, л.

Правило 6.9 (modus tollens): '~* .

—i Г

Оно называется правилом modus tollens: от отрицания истинности посылки G с помощью посылки F -» G переходят к отрицанию истинности F.

Таким образом, рассмотренные правила вывода 6.8 и 6.9 позволяют в истинной импликации F-> Сиз истинности посылки F делать вывод об истинности следствия G, а из ложности следствия G — о ложности посылки F.

Укажем еще некоторые правила вывода, применяемые в рассуждениях. Путь их получения состоит в том, что сначала заменяем в соответствующей тавтологии каждую пропозициональную переменную произвольной формулой алгебры высказываний, в результате чего на основании теоремы 3.6 снова получаем тавтологию, а затем от нее по теореме 6.3 переходим к соответствующему правилу вывода (умозаключения), которое и записываем в принятой форме. Так, тавтология теоремы 3.3, б дает следующее правило вывода:

Правило 6.10 (введения конъюнкции): ' ■

Из тавтологий теоремы 3.2, б приходим к таким правилам вывода:

Правило 6.11 (удаления конъюнкции):

Правило 6.12 (введения дизъюнкции):

F G

F G

FaG9 FaG

Смысл названий этих правил виден из характера их действия.

Из тавтологии теоремы 3.1, д получаем правило контрапозиции.

JT» >Т

Правило 6.13 (контрапозиции): — -.

—\G —> —\F

Из тавтологии теоремы 3.1, е вытекает правило цепного заключения (или правило силлогизма).

жт *и, ч F->

Правило 6.14 (цепного заключения): .

г —> Н

Из тавтологии теоремы 3.1, м следует правило перестановки посылок.

тт tier ч F->(G-*H)

Правило 6.15 (перестановки посылок): -.

G -> (Z1-» H)

Наконец, из тавтологии теоремы 3.1, н получаем следующие правила:

Правила 6.16 (объединения и разъединения посылок):

F->(G-*H) (FaG) ->Я

(F aG)^H ' F^(G-^H)'

Правило 6.17 (расширенной контрапозиции):

(FaG) ->Я

(F л-н#)->-.£'

Аналогично формулируются другие правила вывода тавтологий, что рекомендуется проделать самостоятельно.

На правила 6.8 — 6.17 можно смотреть с двух точек зрения. Во-первых, каждое из них представляет собой утверждение следующего типа: формула, записанная в знаменателе, является логическим следствием всех формул, записанных в числителе данного правила. Во-вторых, каждое из этих правил можно рассматривать как правило получения новой тавтологии из уже имеющихся: если все формулы, записанные в числителе, являются тавтологиями, то тавтологией будет и формула, записанная в знаменателе правила (для доказательства этого утверждения примените замечание 6.7).

Еще один способ проверки логического следования. Требуется выяснить, является ли формула Н(Хи ..., Х„) логическим следствием формул FX(XU ..., Х„), ..., Fm(Xu ..., Хп), т.е. Fu Ръ ..., Fm *= Я. Предположим, что Яне есть логическое следствие формул Fu F2,..., Fm. Значит, существуют такие конкретные высказывания Аъ ..., Ап, что высказывание Н(АЪ ..., Ап) ложно, в то время как все высказывания Fx(Ab ..., Ап), ..., Fm(Au ..., Ап) истинны. Если при этом удается найти распределение нулей и единиц между значениями переменных Хь ..., Хт соответствующее сделанному предположению, то предположение верно. Если же возникает противоречие, то предположение неверно. Посмотрим на примерах, как это делается.

Пример 6.18. Выясните, выполняется ли логическое следование

*= Xv Z.

Допустим, что существуют такие конкретные высказывания А, В, С, что Х(А -> (-.В v С)) = 1, Х(гА) = 1, ЦВ -> С) = 1, но Х(А v С) = 0. Тогда из последнего соотношения получаем Х(А) = 0, ЦС) = 0, что не противоречит соотношению Ц-Л) = 1. Далее, соотношение Х(В -» С) = 1 дает ЦВ) = 0 (так как ЦС) = 0). Наконец, вычислив при данных значениях А, Ви С значение Х(А -> -»(-ii? v С)), убеждаемся что оно равно 1, а это находится в полном соответствии с допущением. Следовательно, приходим к выводу: если высказывания А, В, С таковы, что Х(А) = Х(В) = ЦС) = 0, то при подстановке X = A, Y= В, Z = С формулы-посылки примут значение 1, а формула Xv Z примет значение 0. Значит, формула Xv Zne выводима из формул X-» (-iKv Z), -лХ, Y-> Z