Алгоритм проверки формул на логическое следование

Алгоритм действует следующим образом. Он просматривает последовательно по строкам таблицы значений формул F1, F2, F3, H. Если хотя бы один элемент нулевой строки α₀, β₀, γ₀ равен 0, то без просмотра значения формулы H в этой строке (т. е. числа ξ₀) происходит переход к просмотру следующей строки α₁, β₁, γ₁. Если все элементы α₀, β₀, γ₀ нулевой строки равны 1, то просматривается значение ξ₀ формулы H в этой строке. При ξ₀ = 0 выдается результат: формула H не является логическим следствием формул F1, F2, F3. При ξ₀ = 1 происходит переход к просмотру следующей строки α₁, β₁, γ₁. И так далее. Если после просмотра последней строки α₇, β₇, γ₇, ξ₇ должен произойти переход к просмотру следующей строки, то это означает, что определение логического следования выполнено и формула H является логическим следствием формул F1, F2, F3.

Пример 1. По таблице истинности нескольких формул попытаемся определить, какие из них следуют из каких:

Рассмотрим формулы Х, Z, (X _^ Y) → ¬Z, ¬Y. Из таблицы видно, что имеется только одна строка (6-я), в которой первые три формулы принимают значение 1. В этой строке и формула ¬Y также принимает значение 1. Следовательно, X, Z, (X _^ Y) → ¬Z ╞ ¬Y

Теперь рассматриваем формулы (Х _^ Y) → ¬Z, Х→ Z, ¬(Х _^ Y). Из таблицы видно, что имеется точно пять строк, в которых первые две формулы принимают значение 1, а именно 1-я, 2-я, 3-я, 4-я и 6-я. В этих строках третья формула также принимает значение 1. Следовательно, (X _^ Y) → ¬Z, X → Z ╞ ¬(Х _^ Y).

Признаки логического следствия.

То, что некоторая формула является логическим следствием каких-то формул, можно выразить так же, сказав, что подходящая формула является тавтологией. В этом существо признаков, о которых пойдет речь в настоящем пункте, чем еще раз подчеркивается важное значение тавтологий.

Теорема 6.3 (признак логического следствия). Формула Н будет логическим следствием формулы F тогда и только тогда, когда формула F → Н является тавтологией: F ╞ H ↔ ╞ F → H.

Доказательство. Необходимость. Дано: F(X₁, ..., Х_n) ╞ Н(X₁, ..., Х_n), т.е. если для набора высказываний А₁, ..., А_n имеет место λ(F(А₁, ..., А_n)) = 1, то λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1. Тогда для любого набора высказываний А₁, ..., А_n имеет место равенство λ(F(А₁, ..., А_n)) → λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1, поскольку равенство нулю возможно лишь в том случае, когда λ(F(А₁, ..., А_n)) = 1 и λ(H(А₁, ..., А_n)) = 0, но такая ситуация исключена условием. Следовательно, на основании равенства (1.4) λ(F(А₁, ..., А_n)) → λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1 для любых высказываний А₁, ..., А_n. Это означает, что формула F(X₁, ..., Х_n) → Н(X₁, ..., Х_n) — тавтология, т.е. ╞ F → Н.

Достаточность. Дано: ╞ F → Н. Тогда: λ(F(А₁, ..., А_n)) → λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1 для любых высказываний А₁, ..., А_n, откуда в силу равенства (1.4) λ(F(А₁, ..., А_n)) → λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1. Предположим теперь, что λ(F(А₁, ..., А_n)) = 1. Тогда: 1 → λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1, откуда (на основании определения 1.7) λ(H(А₁, ..., А_n)) = 1, ибо в противном случае 1 → 0 = 1 — противоречие. Но это значит (по определению 6.1 логического следствия), что F ╞ H.

Следующая теорема дает признаки того, что формула является логическим следствием двух или большего количества формул.

Теорема 6.4. Для любых формул F₁, F₂, ..., F_m,╞ H (m ≥ 2) следующие утверждения равносильны:

а) F₁, F₂, ..., F_m ╞ H;

б) F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m ╞ H;

в) ╞ (F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m) → H.

Доказательство. Утверждения б) и в) равносильны на основании предыдущей теоремы. Докажем равносильность утверждений а) и б).

а) => б). Дано: F₁, F₂,..., F_m ╞ H Покажем, что F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m ╞ H. Пусть A₁, …, A_n — такие конкретные высказывания, что

λ(F₁(A₁, …, A_n) _^ … _^ F_m(A₁, …, A_n)) = 1

Тогда по равенству (1.2)

λ(F₁(A₁, …, A_n)) _^ … _{^ λ(}F_m(A₁, …, A_n)) = 1

Отсюда по определению 1.3

λ(F₁(A₁, …, A_n)) = 1, …, _λ(F_m(A₁, …, A_n)) = 1

Но поскольку по условию F₁, F₂, ..., F_m ╞ H, то отсюда следует, что λ(H(A₁, …, A_n)) = 1. Следовательно, F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m ╞ H.

б) => а). Дано: F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m ╞ H. Покажем, что F₁, F₂, ..., F_m ╞ H. Предположим, что справедливы все соотношения (6.3) для некоторых A₁, …, A_n. Тогда имеет место соотношение (6.2), из которого на основании равенства (1.2) приходим к соотношению (6.1). Из последнего на основании условия F_{1 ^} F_{2 ^} ... _^ F_m ╞ H заключаем: λ(H(A₁, …, A_n)) = 1. Но это и означает, что F₁, F₂, ..., F_m ╞ H.