Два свойства логического следования.

Свойства, формулируемые в теореме 6.5, используются для доказательства того, что какая-то формула является логическим следствием некоторых формул (см. пример 6.2).

Теорема 6.5. Отношение логического следования между формулами алгебры высказываний обладает следующими свойствами:

а) F1, Ръ ..., Fm *= Fh для / = 1, 2,..., т\

б) если Fu F2, ..., Fm *= Gjjumj = 1, 2,..., p и Gh G2, ..., Gp t= H,

то Fu F2, ..., Fm i= Я.

Доказательство. а) Фактически это свойство состоит в следующем: F/ •= Fh Оно непосредственно вытекает из определения 6.1 логического следования и означает, что отношение логического следования рефлексивно.

б) В частном случае при т-р-\ данное свойство утверждает: если F i= G и G »= Я, то F »= Я. Другими словами, отношение логического следования транзитивно. Докажем исходное утверждение. Строим таблицу истинности для всех формул, указанных в утверждении б), перечислив все пропозициональные переменные Хь Х2,..., Хт входящие хотя бы в одну из этих формул. Рассмотрим какую-нибудь строку этой таблицы, в которой каждая формула Fb F2,..., Fm получает истинностное значение, равное 1. Тогда на основании условий каждая из формул Gu G2, ..., Gp также принимает истинностное значение, равное 1. Следовательно, и Я имеет значение 1. Таким образом, для всякого набора истинностных значений переменных Хи Хъ ..., Хп, для которого каждая формула Fu F2, ..., Fm принимает значение 1, формула Я также принимает значение 1. Это означает, что Fu F2, ..., Fm t= Я. □

Следование и равносильность формул.

Если говорить о следовании из одной формулы другой, то получаем бинарное отношение на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы Fw Я (в указанном порядке) находятся в данном отношении, если F*= Я.

В § 4 рассмотрены бинарные отношения равносильности на совокупности всех формул алгебры высказываний. Две формулы Fw Я (в указанном порядке) находятся в этом отношении, если F = Я. Там же (следствие 4.3) установлено, что отношение равносильности формул есть отношение эквивалентности. Установим взаимосвязь между отношением равносильности и отношением следования.

Теорема 6.6. Две формулы алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой: F=H<^>Ft=HnH*=F.

Доказательство. Необходимость. Дано: F= Я. По определению равносильности обе формулы F(XU ..., Хп) и Н(Хи ..., Хп) для любых конкретных высказываний Аи ..., Ап превращаются в высказывания F(AU ..., Ап) и Н(Аи ..., Ап), которые одновременно либо оба истинны, либо оба ложны. А раз так, то каждое из высказываний F(AU ..., Ап) -* Н(Аи ..., Ап) и Н(Аи ..., Ап) -» -> F(AU ..., Ап) истинно для любых конкретных высказываний А\, ..., Ап. Это означает, что t=F->Hnt=H->F, откуда, по теореме 6.3, F t= Я и Я t= F.

Достаточность. Дано: Ft= Ни Н*= F. Тогда, по теореме 6.3, *= F-> -> Ни *= Я-» F. Поскольку формула /*-> Я всегда превращается в истинное высказывание и формула Н -^ F всегда превращается в истинное высказывание, то и их конъюнкция (F -» Я) л (Я -> F) является формулой, которая превращается в истинное высказывание всегда, т.е. »= (F-^> Я) л (Я-> F). Но на основании теоремы 4.4, ч, (F -» Я) л (Я -» i7) = F<-> Я. Тогда по замечанию 4.7 t= i7^-» Я, а по теореме 4.2 F= Я.

Замечание 6.7. Если некоторая формула является тавтологией, то и всякое ее логическое следствие также является тавтологией. Символически это можно записать так: t=FHFt=H=$t=H