7.4. Адаптивные модели краткосрочного прогнозирования

Одним из направлений анализа является построение адаптивных моделей. Оценка параметров этой модели базируется на исходном временном ряде (фактических значениях показателя за определенный период времени), которые используются и для последующей корректировки показателей.

На основе новых данных, полученных на каждом шаге во времени (t), происходит дальнейшая корректировка (адаптация) параметров модели к новым условиям развития. Таким образом, модель постоянно обновляется на основании новой информации и приспосабливается к ней. Такие модели используются для прогнозирования изменения ежедневных остатков запасов на складах, изменения остатков денежных средств, частоты отказов оборудования, изменения курса акций и др.

Адаптивные модели дают более надежные результаты, чем регрессионные модели, которые «эксплуатируют» устаревшие, необновленные данные.

Простейшая адаптивная модель основывается на вычислении так называемой экспоненциальной средней.

Предположим, что исследуется временной ряд x_t. Экспоненциальное сглаживание – один из простейших приёмов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних.

При этом используется формула:

(7.12)

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент времени t;

α – параметр сглаживания (α=const, 0<α<1);

β=1-α;

S_t-1 – предыдущее значение средней величины.

Выражение 7.12 можно представить в следующем виде (вместо β подставим ее значение):

(7.13)

где S_t-1 – прогноз средней на один шаг вперед;

x_t- S_t-1 – погрешность прогноза.

Экспоненциальная средняя на момент t здесь выражена как экспоненциальная средняя предшествующего периода (S_t-1) и доля (α) разницы текущего наблюдения (x_t) и экспоненциальной средней прогнозируемого периода.

Чем меньше α, тем меньше вариация (отклонения). В частности, если S_t-1 рассматривать как прогноз на шаг вперед, то величина x_t- S_t-1 есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз S_t получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит сущность адаптации.

Рассмотрим числовой пример сглаживания ряда курса акций.

Таблица 7.6

Расчет курса акций методом экспоненциального сглаживания

Дата	Курс акций, тыс.грн., xi	Курс акций (α=0,1) сглаж.	Дата	Курс акций, тыс.грн., xi	Курс акций (α=0,1) сглаж.	Дата	Курс акций, тыс.грн., xi	Курс акций (α=0,1) сглаж.
1	510	506,4	11	494	502,4	21	523	509,9
2	497	505,5	12	499	502,0	22	527	511,6
3	504	505,3	13	502	502,0	23	523	512,8
4	510	505,8	14	509	502,7	24	528	514,8
5	509	505,8	15	525	505,0	25	529	515,8
6	503	505,8	16	512	505,7	26	538	518,0
7	500	505,2	17	510	506,1	27	539	520,1
8	500	504,7	18	506	506,1	28	541	522,2
9	500	504,3	19	515	507,0	29	543	524,3
10	495	503,3	20	522	508,5	30	541	525,9

Определим S₀ как

Используя формулу 7.13 , получим:

S₁=αx₁+(1-α)S₀=0,1*510+0,9*506=506,4 тыс.грн.

S₂=αx₂+(1-α)S₁=0,1*497+0,9*506,4=505,5 тыс.грн.

S₃=αx₃+(1-α)S₂=0,1*504+0,9*505,5=505,3 тыс.грн.. и т.д.

Р ис.7.1. График динамики временного ряда и экспоненциальных средних

На рис.7.1. изображен график динамики временного ряда и экспоненциальных средних при α=0,1.

Обоснованным методом выявления тенденции является построение закона распределения. Наиболее простым в построении (так как имеет один параметр) является экспоненциальное распределение, которое используется в том случае, когда случайная величина «х» изменяется под воздействием случайных факторов (например, изменение стоимости курса акций, среднее время безотказной работы оборудования и др.)

Для того чтобы построить закон распределения, необходимо собрать исходную информацию о случайной величине, проверить достоверность исходной информации, построить группировку, построить гистограмму и принять гипотезу о возможном законе распределения, рассчитать параметры выбранного закона распределения, построить кривую распределения, по критерию согласия (Пирсона) проверить достоверность принятого закона распределения, сделать прогноз.

Плотность распределения экспоненциального закона распределения имеет вид:

(7.14)

где λ – интенсивность наступления события (является постоянной величиной, т.е. λ(х)= λ=const).Это значит, что среднее число величины х – величина постоянная:

Основными характеристиками экспоненциального распределения являются:

• вероятность наступления события х – Р(х);

• среднее значение случайной величины х – М(х);

• интенсивность наступления величины х – λ(х).

Вероятность наступления события определяется по формуле:

(7.15)

Рассмотрим пример. Курс акций банка в течение года изменялся в пределах от 0 до 4500 грн. Было продано 365 акций. Необходимо сделать прогноз стоимости одной акции на будущее.

Для построения гистограммы, кривой плотности, вероятности распределения и расчета параметра распределения составлена таблица 7.7.

Таблица 7.7

Исходные и расчетные данные о стоимости акций

Интервал курса акций, грн., xi	Количество акций, m	Середина интервала, xi	xm		()2	()2m
0-500	70	250	17500	1394	1943236	136026520
500-1000	67	750	50250	-894	799236	53548812
1000-1500	57	1250	71250	-394	155236	8948425
1500-2000	46	1750	80500	106	11236	516856
2000-2500	37	2250	83250	606	367236	13587732
2500-3000	29	2750	79750	1106	1223236	35473844
3000-3500	23	3250	74750	1606	2579236	59322428
3500-4000	20	3750	74400	2106	4435236	88704720
4000-4500	16	4250	68000	2606	6791236	108659780
	365		599650			504689090

На рис.7.2 построена гистограмма курса акций. По характеру графика принимается гипотеза о распределении курса акций по экспоненциальному закону.

Проверка принятой гипотезы производится по критерию Пирсона по формуле:

(7.16)

где m_i – частота интервала;

g_i – вероятность интервала (определяется как разность значений функции распределения в начале и конце интервала).

Для определения g_i необходимо определить g(х) -. вероятность конца интервала (g(500); g(1000) и т.д.) по формуле:

(7.17)

где е^-λх=Р(х) – вероятность наступления величины х.

Рис.7.2. Гистограмма курса акций

Таблица 7.8

Расчетные данные для определения вероятности наступления величины х

Середина интервала, х	λх	Р(х)=е-λх		λ е-λх
1	2	3	4	5
0	0	1	0
500	0,304	0,7378	0,2622	0,00049
1000	0,608	0,5444	0,4556	0,000331
1500	0,912	0,402	0,598	0,000244
2000	1,216	0,318	0,672	0,000193
2500	1,52	0,2187	0,7813	0,000130
3000	1,82	0,1620	0,838	0,0000985
3500	2,13	0,128	0,872	0,000079
4000	2,43	0,0889	0,911	0,000054
4500	2,74	0,0693	0,9307	0,0000042

После того, как определена вероятность конца интервала определяют вероятность каждого интервала g_i .

Таблица 7.9

Расчетные данные для определения вероятности интервала

Интервал	Количество акций, mi	mi2	Вероятность интервала, gi
1	2	3	4	5
0-500	70	4900	0,2662	18407
500-1000	67	4489	0,1934	23211
1000-1500	57	3249	0,1421	22880
1500-2000	46	2116	0,074	18594
2000-2500	37	1369	0,109	12560
2500-3000	29	841	0,058	14500
3000-3500	23	529	0,033	11030
3500-4000	20	400	0,039	10256
4000-4500	16	256	0,0693	3694
Итого	365			135132

Используя данные табл.7.9, определяем (²):



Для определения вероятности согласия Р(²) используем приложение 4. Определяем число степеней свободы:

k=e-r-1=9-1-1=7.

По приложению 4 при k=7 и ²=5,22 находим Р(²)=0,66, что подтверждает достоверность принятой гипотезы о распределении курса акций .