2.3.2. Экспоненциальные распределения

Экспоненциальные распределения описываются следующей функцией плотности вероятности

, (2.22)

где ; - СКО; - константа, характерная для данного распределения; - координата центра; Г(х) – гамма – функция.

В нормированном виде при и ,

, (2.23)

где – нормирующий множитель распределения.

Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением

.

Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при α = 1/n, n = 1, 2, 3,… При α = n = 2, 3, 4, … он может быть рассчитан по приближенным формулам.

В приведенных выражениях константа α однозначно определяет вид и параметры распределений. При α < 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При α = 1 получается распределение Лапласа, при α = 2 – нормальное распределение. При α > 2 распределения (3.22) близки по свойствам к трапецеидальным, а при α → ∞ соответствуют равномерному распределению.

Эксцесс всех этих распределений выражается единой формулой через показатель экспоненты α.

(2.25)

Контрэксцесс равен

(2.26)

В таблице 2.2 приведены некоторые экспоненциальные распределения и их параметры, а на рис.2.6 графики функций плотности вероятности (дифференциальных функций).

Таблица 2.2

Экспоненциальные распределения и их параметры при различных значениях

и,

Функция плотности вероятности	Параметр	Эксцесс ε	Контрэксцесс
	1/4	458	0,0467
	1/3	107,25	0,0966
	1/2	25,2	0,199
распределение Лапласа	1	6	0,408
нормальное распределение	2	3	0,577
Равномерное распределение	∞	1,8	0,745

2.3.3. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение, как и равномерное распределение, является разновидностью экспоненциальных. При этом нормальный закон распределения имеет наибольшее распространение, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение СВ (погрешностей) будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений являются суммой большого числа независимых факторов, каждый из которых

оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Для нецентрированных СВ это распределение является двухпараметрическим и имеет следующий вид

(2.27)

где – СКО; – математическое ожидание.

Вид нормального распределения был показан на рис.2.2.

При введении новой переменной из (2.27) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции распределения которого соответственно равны

(2.28)

(2.29)

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения функций (2.28) и (2.29) сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

(2.30)

называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства:

;; ;

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t) связана с функцией Лапласа формулой

(2.31)

Поскольку интеграл в (2.30) не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу (см. табл. П 1 ).