3.2.3. Порядок обработки прямых многократных равноточных измерений

При обработке равноточных результатов измерений обычно исходят из предположения нормального распределения результатов и погрешностей измерений. Если известна систематическая погрешность, то в каждый результат вносят поправку. Если систематическая погрешность постоянна (для равноточных измерений), то ее можно исключить внесением поправки.

1. Исключаются известные систематические погрешности из результатов измерений (статистического ряда):

, (3.7)

где - результат i-го измерения;

- поправка, определяемая систематической погрешностью;

- «исправленный» результат i – го наблюдения.

2. Определяется среднее арифметическое значение результатов наблюдений по формуле (2.34).

3. Определяется среднее квадратическое отклонение по формуле (2.37).

4. Выбирается критерий, подходящий условиям измерений (см. п. 3.2.1), проверяется наличие грубых погрешностей и если таковые имеются, то они исключаются из результатов измерений .

5. После исключения грубых погрешностей (если такие обнаружены) повторяются вычисления по пп. 2 и 3.

6. Определяются границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерений в соответствии с п.2.5.

7. Определяются границы неисключенной систематической погрешности  в соответствии с п.3.2.2.

8. Определяются границы доверительного интервала суммарной погрешности в соответствии с п.3.2.2.

9. Записывается окончательный результат измерений.

3.3. Многократные прямые неравноточные измерения

При планировании измерений и обработке их результатов часто приходится пользоваться неравноточными измерениями.

Неравноточные измерения - это измерения одной и той же физической величины, выполненные с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т.д.

Для оценки наиболее вероятного значения величины по данным неравноточных измерений вводят понятие «веса» измерения:

(3.8)

где и – объем и дисперсия i-й серии равноточных измерений.

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам (– среднеарифметическое ряда равноточных измерений,), то наиболее вероятным значением величины будет ее средневзвешенное значение:

(3.9)

Далее расчеты идут аналогично вышеприведенному методу.

3.4. Прямые однократные измерения

Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям. Для производственных процессов более характерны однократные измерения. Однократные измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Последовательность действий при выполнении этих измерений следующая.

1. Анализ априорной информации. Эти измерения возможны лишь при определенных условиях:

- объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений;

- изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;

- СИ исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.

Итогом анализа условий должна стать уверенность в том, что точности однократного измерения достаточно для выполнения поставленной задачи.

2. За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина (значение отсчета).

3. Внесение в отсчет поправки q.

4. Определение максимально возможного отклонения результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

- погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам;

- погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;

- личная погрешность, вносимая оператором.

Если последние две составляющие не превышают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ

Перечисленные составляющие могут состоять из неисключенных систематических (после введения поправки) и случайных погрешностей. Распределение случайных погрешностей обычно принимают по нормальному закону, а неисключенных систематических по равномерному. Они могут быть представлены своими границами _i, либо доверительными границами _i (Р).

Если неисключенные систематические погрешности есть только у одной из составляющих, то она и определяет границы этой погрешности _i. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей доверительную границу вычисляют по формуле

, (3.10)

где – доверительная граница – й неисключенной систематической погрешности, соответствующей доверительной вероятности ;

– коэффициент, зависящий от доверительной вероятности, с которой определены границы и определяемый по таблице функции Лапласа (табл. П.1);

– коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью,числом составляющих погрешностей и их соотношением. При он мало зависит от числа слагаемых и может быть представлен усредненными значениями: при Р = 0,90 коэффициент k = 0,95; Р = 0,95 k = 1,1; Р = 0,99 k = 1,4.

При коэффициент k значительно зависит от числа слагаемых и соотношения между ними. Если , то рекомендуется принимать среднее значение k = 1,4 , при значение k необходимо определять по графику ГОСТ 8.207 – 76 или табл.3.6.

Параметр l = принимается равным наименьшему значению этого отношения при условии, что .

Случайные составляющие погрешности результата измерений выражаются либо своими СКО , либо доверительными границами .

Таблица 3.6

Значения коэффициента k в зависимости от m и l при Р = 0,99

l		0	0,5	1	2	3	4	5	6	7
m	2	0,98	1,15	1,27	1,22	1,15	1,12	1,08	1,07	1,05
	3	1,27	1,32	1,37	1,32	1,24	1,18	1,15	1,12	1,08
	4	1,38	1,40	1,41	1,36	1,28	1,23	1,18	1,15	1,11

В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО

(3.11)

где (или) – точка нормированной функции Лапласа, соответствующая вероятности Р и определяемая по табл.П.1;

– СКО – й составляющей погрешности измерения (СИ, метода и др.); если она установлена экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента следует использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы – й составляющей, оценка которой произведена при наименьшем числе измерений.

В случае, когда случайные погрешности представлены доверительными границами для одной доверительной вероятности, то

(3.12)

Если случайные погрешности представлены доверительными границами с разными доверительными вероятностями , то

(3.13)

Найденные значения и используются для оценки погрешности результата прямых однократных измерений. В зависимости от их соотношения могут быть различные варианты.

1. Если , то пренебрегают неисключенными систематическими погрешностями и граница результата измерения равна .

2. Если , то пренебрегают случайными погрешностями и за границу результата измерения принимают границы неисключенных систематических погрешностей .

3. Если , то доверительные границы

(3.14)

где k – коэффициент, принимаемый по табл.3.7. в зависимости от вероятности Р.

Таблица 3.7

Значения коэффициента k в зависимости от соотношения /S_x

	0,8	1	2	3	4	5	6	7	8
Р=0,95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
Р=0,99	0,84	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Кроме изложенного метода, суммирование случайных и систематических составляющих может производиться и другими методами.

Результат прямых однократных измерений при симметричном распределении погрешностей должен записываться в соответствии с рекомендациями МИ 1317-86 в виде при доверительной вероятности Р = Р_д.

Пример 3.3. При измерении внутреннего диаметра втулки 10мм проводилась настройка измерительного прибора на нулевую отметку по концевой мере 10 мм. Размер концевой меры по аттестату равен 10,001мм. Абсолютная погрешность настройки равна 3,5мкм. Отсчет подчиняется равномерному закону распределения вероятностей с предельными отклонениями  = 0,8 мкм. Показание прибора равно – 3 мкм. Определить и записать результат измерений.

Решение. 1. Значение отсчета и показания равны х = - 0,003мм.

2. Определяются значения составляющих систематических погрешностей. Они складываются из погрешности концевой меры и погрешности настройки измерительного прибора.

Погрешность концевой меры, которую мы можем исключить путем введения поправки, определяется разностью номинального размера и размера по аттестату _м = 10,000-10,001 = - 0,001 мм. Отсюда значение поправки q = - _м = 0,001 мм.

Погрешность настройки измерительного прибора остается неисключенной: = 0,0035 мм.

3. Определяется случайная погрешность .Эта погрешность для равномерного закона распределения погрешности отсчета равна предельному отклонению  =  =  0,0008 мм.

4. С целью выбора способа суммирования неисключенной систематической и случайной погрешности определяется их соотношение.Погрешность  известна. Определим S_x. Для равномерного закона распределения, где – параметр равномерного закона распределения равный предельному отклонению  0,8 мкм. Следовательно, S_x = 0,8 3 = 1,386мкм. Соотношение = 3,5/1,386 = 2,53.

5. Рассчитывается погрешность измерения. В соответствии с полученным соотношением суммирование погрешностей осуществляется по формуле (3.13).

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда по табл.3.7 получим коэффициент k = 0,72. В соответствии с уравнением (3.14) погрешность измерения равна

 = 0,72 (3,5 + 0,8) = 3,096мкм  0,003мм.

5. Рассчитывается и записывается в соответствии с п.3.1 результат измерения.

Исправленный результат измерения Х = х_ном + х +q = 10,000 + (-0,003) + 0,001 = 9,998 мм. Доверительные границы истинного размера диаметра 9,995мм  D  10,001мм, а при симметричном распределении погрешностей можно записать D = (9,9980,003) мм, Р = 0,95.