2. Вероятностное описание погрешностей как случайных величин

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерения приводит к тому, что результат измерения является случайной величиной. Поэтому прежде, чем приступить к расчету случайных погрешностей, необходимо ознакомиться с вероятностным описанием случайных величин.

2.1. Основные понятия.

Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате

измерения (опыта) может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Дискретная СВ – СВ, принимающая только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Например, количество попаданий при 3-х выстрелах, которое может быть равным 0, 1, 2, 3. Их можно заранее перечислить.

Непрерывная СВ – СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Например, координаты попадания пули в мишень.

Случайное событие – событие, которое в результате опыта(измерения, испытания) может произойти или не произойти.

Вероятность события - определенное число, отражающее степень объективной возможности этого события.

Статистическая совокупность – множество значений СВ, полученное в результате измерений.

Генеральная совокупность – статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.

Выборка – совокупность, содержащая часть значений СВ, принадлежащих генеральной совокупности.

2.2. Законы распределения

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ (Х) и соответствующими вероятностями их появления.

Эта связь может задаваться таблицей, графиком или функциональной зависимостью.

Из теории вероятностей известно, что наиболее универсальным способом описания СВ является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения СВ F(x) (или просто функцией распределения СВ) называется функция, каждое значение которой для каждого является вероятностью события, заключающегося в том, что СВ Х в -ом опыте принимает значение меньше :

(2.1)

Она имеет следующие свойства.

1. Неотрицательна , при

2. .

3. Неубывающая на всей оси, то есть, если .

4. Вероятность нахождения СВ в диапазоне от до

(2.2)

Для иллюстрации этих свойств на рис.2.1,а) показан график интегральной функции распределения нормального (Гауссова) закона.

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения , иначе называемой функцией распределения плотности вероятностей (рис.2.1,б).

(2.3)

Функция распределения плотности вероятностей обладает следующими свойствами

1. Неотрицательна, то есть при .

2. Нормирована .

Вероятность того, что непрерывная СВ примет некоторое значение из интервала (,) может быть вычислена по одной из двух формул: уже упомянутой (2.2) и

(2.4)

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.

Из уравнения (2.3) следует, что вероятность попадания СВ в заданный интервал (,) равна площади, заключенной под кривой между абсциссами и (рис.2.1,б). Уже по форме кривой можно судить о том какие значения СВ наиболее вероятны, а какие менее.

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.