Теорема Поста о полноте

5. (Поста о полноте). Система функций N полна в P₂ тогда и только тогда, когда она целиком не принадлежит ни одному из пяти замкнутых классов T₀,T₁,L,S,M.

При исследовании полноты систем удобно пользоваться так называемой критериальной таблицей. Эта таблица имеет пять столбцов, каждый из которых соответствует одному из пяти предполных классов в P₂, а строки таблицы соответствуют функциям исследуемой системы. На пересечении строки таблицы, соответствующей функции f, и столбца, соответствующего классу K, ставится знак плюс, если fK, и минус, если fK. Система функций полна тогда и только тогда, когда в каждом столбце содержится хотя бы один знак минус.

14. Исследовать полноту системы A={xyz, xy1}.

Критериальная таблица имеет вид

	T0	T1	L	S	M
xyz	+	-	-	-	-
xy1	-	+	+	-	-

В каждом столбце имеется не менее одного минуса. Система полна.

Предполные классы. Базисы

Класс называется предполным, если он не является полным в P₂ и добавление к нему любой функции, не принадлежащей этому классу, приводит к полной системе.

15. Любой замкнутый класс, не совпадающий с P₂, содержится в одном из классов T₀,T₁,L,S,M.

16. Любой предполный класс является замкнутым.

17. В P₂существует только пять предполных классов, а именно: T₀,T₁,L,S,M.

Система функций называется базисом в P₂, если она полна, а любая ее собственная подсистема не полна.

6. Любой базис в P₂ содержит не более четырех функций.

Критериальная таблица может быть полезной для нахождения базисов, содержащихся в системе A.

15. Проверить, является ли система A={xy, xz, x} базисом в P₂.

Критериальная таблица имеет вид

	T0	T1	L	S	M
xy	+	+	-	-	+
xz	+	+	-	-	+
x	-	-	+	+	-

Система является полной, и ее подсистемы {xy, x} и {xz, x} также полны. Следовательно, A не является базисом в P₂.

Задачи

31. Выяснить, полны ли системы функций A и B:

    1. , B={(0101), (11101000), (01101001)};

    2. , B={(1001), (11101000)};

    3. , B={(11),(00), (00110101)};

    4. , B={(0111), (10010110)};

    5. , B={(10), (00110111)};

    6. , B={(11),(0111), (00110111)};

    7. , B={(1011), (10010110)};

    8. , B={(01011010), (00100001)};

    9. , B={(1101), (10101001)};

    10. , B={(1001),(0111), (01100110)}.

32. Проверить, является ли система функций A базисом в P₂:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

    9. ;

    10. .

16