- •Булевы функции Основные понятия
- •Основные эквивалентности:
- •Принцип двойственности
- •Разложение булевых функций по переменным
- •Алгоритм построения с.Д.Н.Ф. По таблице значений функции.
- •Алгоритм построения с.Д.Н.Ф. При помощи равносильных преобразований.
- •Алгоритм построения с.К.Н.Ф. По таблице значений функции.
- •Алгоритм построения с.К.Н.Ф. При помощи равносильных преобразований.
- •Полиномы Жегалкина
- •Полнота.
- •Замкнутость.
- •Если m1m2, то [m1][m2].
- •Класс самодвойственных функций – s.
- •Класс монотонных функций – m.
- •Теорема Поста о полноте
- •Предполные классы. Базисы
Полиномы Жегалкина
Элементарная конъюнкция называется монотонной, если она не содержит отрицаний переменных. Константа 1 (т.е. элементарная конъюнкция нулевого ранга) считается монотонной по определению. Выражение вида , где коэффициенты {0,1}, называется полиномом Жегалкина (или полиномом по модулю 2). Число r слагаемых полинома называют его длиной. Рассматривается также полином Жегалкина без слагаемых. Такой полином обозначают 0 и считают по определению, что он равен константе 0.
Наибольший из рангов элементарных конъюнкций, входящих в полином, называют степенью этого полинома. Степень полинома 0 считается неопределенной.
-
Всякая булева функция единственным образом представима в виде полинома Жегалкина.
Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях.
Опишем методы построения полиномов Жегалкина.
1. Метод неопределенных коэффициентов. Булева функция f(x1,…,xn) приравнивается к полиному Жегалкина P(x1,…,xn) общего вида с неизвестными 2n коэффициентами. Затем для каждого Bn составляется уравнение f()=P() относительно коэффициентов Ai. Далее решается система из 2n уравнений относительно неизвестных 2n коэффициентов Ai. Причем в силу предыдущей теоремы решение всегда существует и единственно.
2. Метод основан на представлении функции в виде формулы над множеством {, , } с последующей заменой x=x1, .
3. Метод, базирующийся на преобразовании вектора значений функции. Над векторами из определяется (индукцией по n) операция Т.
-
Если n = 1 и , то .
-
Предположим, что операция Т уже определена для каждого вектора а из , и рассмотрим произвольный вектор а из . Пусть и , . Тогда .
Вектор значений функции f и вектор коэффициентов ее полинома Жегалкина связаны соотношениями и .
-
Проиллюстрируем эти методы для функции xy.
1. Метод неопределенных коэффициентов.
xy=f(x,y)=P(x,y)=0010x01y11xy.
(00) 1=00 00=1.
(01) 1=0001 01=0.
(10) 0=0010 10=1.
(11) 1=00100111 11=1.
Таким образом, xy=1xxy.
2. .
3. =(1101). Расщепляем этот вектор на вектора длины 2. Выполняем для каждого из них преобразование T. Затем выполняем преобразование T для полученного вектора длины четыре. Результаты вычислений приведены в таблице. Таким образом, =(1,0,1,1) и xy=1xxy.
|
||
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Задачи
-
Найти полином Жегалкина функции методом неопределенных коэффициентов:
-
f=(01110100);
-
f=(11001110);
-
f=(10011110);
-
f=(00111100);
-
f=(11110000);
-
f=(10101111);
-
f=(11101001);
-
f=(11010011);
-
f=(10011101);
-
f=(00111011).
-
Найти полином Жегалкина функции, преобразуя вектор ее значений:
-
f=(1011010110110101);
-
f=(0101111101011111);
-
f=(1100110000110011);
-
f=(0011110000111100);
-
f=(0110110110110111);
-
f=(0111011110101010);
-
f=(0110101101101011);
-
f=(1011111010111110);
-
f=(1001100001100111);
-
f=(0111100001111000).
-
Найти полином Жегалкина функции с помощью эквивалентных преобразований:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.