![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
Определение.
Функция
называется интегрируемой (по Лебегу),
если существует последовательность
интегрируемых ступенчатых функций,
которые равномерно сходятся к функции
:
на
.
Совокупность всех
интегрируемых функций обозначается
.
Свойства интегрируемых функций.
1.,
:
.
2.
,
на
.
3.
,
то есть
.
4.
36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
Определение.
Интегралом Лебега от интегрируемой
функции
называется число, обозначаемое
(1)
где
- последовательность ступенчатых
интегрируемых функций, равномерно
сходящихся к функции
.
Для доказательства
корректности определения интеграла
нужно доказать, что существует предел
Обозначим
.
Необходимо доказать, что
- фундаментальная последовательность.
(2)
.
Тогда из (2) получим
,
.
Таким образом,
.
Это означает, что
если последовательность
фундаментальная.
Так как
полно, то последовательность
сходится, следовательно,
существует и он конечен, значит определение
корректно.
37. Св-ва интеграла лебега
Свойства интеграла Лебега.
1.
.
Д-во:
2.
.
Д-во. Берем
.
Для них верно
а значит 2 док-но.
3. Линейность.
.
4.
.
5.
Если f
g , т.е. они равны друг другу почти всюду,
и существует
,
то
также существует, причем
,
Если f
g , т.е. существует
.
Тогда
,
т.к. интеграл по множеству меры 0 равен
0.
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет :
-
f f(рефлексивность);
-
f g gf (симметричность)
-
f g ,gh fh (транзитивность)
Проверим выполнение условие 3).
f
g , это значит,
gh
, это означает,
т.е.
Отметим, что
измеримо,т.к. сумма двух измеримых мн-в
образует алгебру.
Поэтому в силу f(x)=g(x) и g(x)=h(x) следует f(x)=h(x).
Совокупность
пространств по эквивалентности называется
фактор-пространством
.
Будем называть пр-вом интегрируемых
ф-ций на мн-ве Х.
38.
39.
40.
41.
42.