- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
18.Внешняя мера и ее св-ва
Пусть есть мн-во AK, К—алгебра.
Определение. Счетным покрытием множества называется семейство непересекающихся мн-в таких, что .
Пример.
Пусть , тогда .
Определение. Пусть – произвольное множество, и пусть – алгебра, т.е., на которой задана аддитивная мера . Тогда внешней мерой множества называется число
.
Отображение называется внешней мерой.
Определение. Множество называется измеримым, если для
- множество измеримых множеств. Отметим, что явл. метрикой , т.е.
Любое множество из является измеримым, т.е. если , то оно измеримо.
Доказательство.
Мера наз-ся внешней мерой Лебега на и обозначается .
Упорядоченная тройка (Х, ,) наз-ся пространством с мерой.
Если (Х)=1, то пр-во с мерой наз-ся вероятностным пр-вом. Эл-ты Х –элементарные события, Эл-ты -события.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.