![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
Ф-ция f:XR-ф-ция
заданная на Х.
Ф-ция f,
заданная на Х, наз-ся ступенчатой
ф-цией, если она принимает не более
чем счетное число значений
причем прообраз
явл-ся измеримым мн-вом для любого n.
Пример. Рассмотрим
функцию Дирихле
измеримо
также
измеримо.
Теорема . Обратная функция Дирихле ступенчатая.
Пусть
Примером ступ-той
функции являются характеристические
функции
.
Совокупность всех
ступ-тых функций будем обозначать
.
Свойства ступенчатых функций.
-
Произведение любого числа на ступенчатую функцию есть ступенчатая функция, т.е.
-
Сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.
.
Доказательство
этого очевидно, т.к. если
,
где
и
-
измеримые множества.
.
.
3. St-векторное пр-во, т.к. выдерживает векторные операции 1.и2.
4. Произведение ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.
Доказательство аналогично доказательству свойства 2.
.
Отметим, что функция, равная тождественно константе, является ступенчатой.
Из свойств 1 – 4
получаем, что совокупность всех
ступенчатых функций является алгеброй
над полем
.
5.
St
– алгебра. Она содержит единицу, т.е.
1(х)=1 ,
x
X
1
St, g.f = f.g, т.е. имеет место коммутативность,
St – коммутативная алгебра с единицей.(но
St не явл. полем)
28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
Определение.
Ступенчатая функция
называется интегрируемой, если ряд
,
т.е. сходится.
Это означает
абсолютную сходимость ряда
.
Если ступенчатая функция интегрируема, то модуль ее интегрируем.
-
множество интегрируемых ступенчатых
функций.
Свойства интегрируемых ступенчатых функций.
1.
Произведение любого числа на интегрируемую
ступенчатую функцию есть интегрируемая
ступенчатая функция, т.е.
.
2.
Сумма двух интегрируемых ступенчатых
функций является интегрируемой
ступенчатой функцией, т.е.
.
Действительно,
3. Линейная комбинация интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е.
.
Это свойство
значит, что совокупность всех интегрируемых
ступенчатых функций образует векторное
(линейное) пространство над полем
.
29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
Определение.
Интегралом
от интегрируемой ступенчатой функции
называется
число, которое обозначается
и определяется
.
Свойства интеграла.
1.
2.
3.
Интеграл является линейным функционалом.
4.