![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Основные определения и свойства метрических пространств.
- •3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в метрическом пространстве и их свойства.
- •4. Пространство и теорема о его полноте
- •5.Непрерывные отображения.
- •7. Принцип неподвижной точки.
- •10. Кольца и полукольца множеств.
- •13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )
- •18.Внешняя мера и ее св-ва
- •27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.
- •28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва
- •29.Интегралы от ступенчатой ф-ции
- •30.Измеримые ф-ции и их св-ва
- •35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства
- •36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения
- •43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- •44. Тензорное произведение мер
4. Пространство и теорема о его полноте
- пространство
всех непрерывных функций на отрезке
.
-
Чебышевская метрика.
Докажем, что функция
действительно является метрикой:
1)
,
то есть
:
2)
3)
:
,
,
Теорема (о
полноте). Пространство
полное.
Док-во.
Пусть-фундаментальная
последовательность в пространстве
С[a,b],
т.е.
.
Это зн., что посл-ть
яв-ся фундаментальной
существует, в силу полноты,
.
Т.к. это верно для любого t,
то м. построить
ф-цию
ф-ция
сходится поточечно. Получаем
Т.о.,
,
функция x(t)
непрерывна на
,
а т.к. сходимость равномерная, то
в
С[a,b] С[a,b] – полное пр-во.
5.Непрерывные отображения.
Рассмотрим два
метрические пространства X
и Y
с метрикой ρx
и ρy
.Отображение F:X→Y(т.е.
каждому x
X
сопоставляем единственный y
Y,
x
X→
y
Y,
y=F(x)=Fx.
Опр.:
Отображение F
называется непрерывным
в точке aX,
если
ε>0,
δ>0
такое ,что если ρx(x,a)<
δ , то ρy(F(x),F(a))<
ε.
Отображение является непрерывным , если оно непрерывно в каждой точке. Тогда предыдущее определение можно записать следующим образом:
Теорема (Об эквивалентном условии непрерывности):
Для того чтобы
отображение F
было бы непрерывным в точке aX
необходимо и достаточно , чтобы для
любой последовательности
.
Доказательство:
1) Необходимость. Пусть отображение F непрерывно в точке
a , т.е.
ε>0,
δ>0
,что
FU(a, δ)
V(Fa,
ε)
(1).
Возьмём произвольную посл-сть , которая стремится к a , .
.
Т.е.
δ>0
n0
,что
n≥
n0
ρ(xn,a)<
δ (2).
А это значит ,что
xn
U(a,
δ). Из соотношений (1) и (2) получим , что
F(xn)
V(F(a),
ε).А это означает , что расстояние
ρy(F(x),F(a))<
ε.
Т.о.
ε>0
n0
, что
n≥
n0
выполняется ρy(F(xn),F(a))<
ε. А это означает ,что F(xn)
сходится к F(a)
,
.
2)
Достаточность. Пусть выполняется условие
(*).
Докажем, что отображение F
непрерывно.
Будем предполагать
, что условие (*) выполняется , но F
непрерывно в точке a
.Это значит ,что
ε>0,
δ>0,
ρx(x,a)<
δ, но ρy(F(x),F(a))≥
ε.
Возьмём δ=1/n
, тогда существует xn
,что хотя ρx(x,a)<1/n=
δ, но ρy(F(x),F(a))≥
ε. Следовательно
из условия ρx(xn,a)<1/n
.А из условия ρy(F(x),F(a))≥
ε следует , что
не стремится к
при
.Что
противоречиво условию(*).
Получено противоречие показывает , что наше допущение не верно. Значит отображение F непрерывно в точке a .
Если отображение
F
непрерывно в каждой точке aM
X
, то говорят , что отображение F
непрерывно на множестве M
.
Отображение F непрерывное на всём пространстве Х называется непрерывным отображением .
Множество всех непрерывных отображений из X в Y обозначим C(X,Y).
Теорема: (О непрерывности композиции).
Пусть F
непрерывное отображение F:X→Y
, а G:
Y→Z
, где X,Y,Z
–метрические пространства. Тогда
композиция отображений G°F(которая
определяется следующим образом
(G°F)(x)=G(Fx)
x
X)
является непрерывным отображением
G°F:X→Z.
(Кратко: композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением).
Доказательство:
Возьмём произвольное
aX
и пусть
,
тогда применяя теорему об эквивалентных
условиях непрерывности мы получим
.И еще раз её применяя, получим ,что
.
Т.е. это означает , что (G°F)(xn)=
(G°F)a
(3)
Ещё раз применяя предыдущую теорему получаем , что G°F непрерывно в a ,т.е. G°F непрерывна.
Теорема доказана.
6. Сжимающие отображения.
Будем рассматривать отображение F: XУ с метрикой .
Определение: отображение F: XУ с метрикой называется сжимающим отображением (отображением сжатия), если существует число 0<α<1, что расстояние между образами
у(Fx1 ,Fх2) αх(x1,х2), х1,х2 Х, 0<q<1
Свойство:
-Любое сжимающее отображение непрерывно.
Доказательство.
Для этого выберем аХ и, полагая у=а, получаем соотношение у(Fx ,Fа) α(x1,х2).
Пусть хU(а,), т.е. (x,а)<, тогда из соотношения (1) получаем (Fx ,Fa) α=.
Из соотношения
α=
>0
Таким образом,
>0
: (x,a)<
(Fx
,Fa)<
А это значит, что отображение F непрерывно в точке а. Т.к. точка а была выбрана произвольно из Х, то отображение F непрерывно на всем пространстве.
Таким образом, любое сжимающее отображение непрерывно