Каноническое уравнение прямой Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

где  — координаты  и  направляющего вектора прямой,  и  координаты точки, принадлежащей прямой.

Вектор нормали к поверхности в данной точке — это единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задатьнепрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой.

 Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Билет 48. Взаимное расположение двух плоскостей 

     Если , то они:

     1) пересекаются 

     2) параллельны (но не совпадают) 

     3) совпадают 

     Если плоскости заданы уравнениями  и  то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

     Угол между плоскостями 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей 

 или 

Билет 49. Канонический вид нецентральной кривой 2-го порядка.

нецентральная кривая 2-го порядка это парабола. Тогда Канонический вид нецентральной кривой 2-го порядка :

Билет 50. Прямая линия как пересечение плоскостей и её параметрические уравнения.

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

параметрическиме уравнения прямой.

Билет 51 . Парабола. Фокальный радиус, директриса, эксцентриситет

Парабола— геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

     Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

     Каноническое уравнение:

     Эксцентриситет:

     Фокальный радиус:

     Уравнение директрисы:

Билет 52. Поверхности вращения: круговой конус, конус второго порядка.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой)

Конус -тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность

Прямой круговой конус — геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет — высотой; круг, описываемый вращающимся катетом - основанием. Боковая поверхность конуса равна произведению окружности основания на половину образующей. Объем конуса равен площади основания, умноженной на треть высоты.

Элементы и части конуса

Вершина —

точка при неподвижном остром угле вращающегося прямоугольного треугольника, образующего конус.

Основание —

круг, ограничивающий конус, описываемый подвижным катетом образующего треугольника.

Высота —

отрезок, перпендикулярный основанию, проходящий через вершину, неподвижный катет образующего треугольника, а также длина этого отрезка.

Образующая —

отрезок, соединяющий вершину и точку на окружности, ограничивающей основание, гипотенуза описывающего треугольника.

Боковая поверхность —

коническая поверхность, ограничивающая конус, образуемая гипотенузой образующего треугольника.

Усечённый конус —

часть конуса, отсекаемая плоскостью, параллельной основанию со стороны, противоположной вершине.

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где , ,  -- положительные числа.    

Билет 53. Эллиптический гиперболоид. Гиперболический параболоид и его прямолинейные образующие.

Параболоиды -незамкнутые поверхности второго порядка, не имеющие центра.

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида

,

где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

Гиперболи́ческий параболо́ид — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

.

Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие, и, таким образом, гиперболический параболоид представляет собой линейчатую поверхность.

Билет 54. Метод параллельных сечений для поверхностей 2-го порядка.

Гугл молчит >_<

Билет 55. Полярная система координат, запись в ней канонических прямых 2-го порядка.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Канонические прямые 2-го порядка.

1. Эллипс

В полярных координатах с началом в фокусе

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При положительном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке а при отрицательном — в точке где фокальное расстояние

Вывод

Пусть r1 и r2 — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

r1 + r2 = 2a.

Отсюда,

С другой стороны, из теоремы косинусов

Исключая r2 из последних двух уравнений, получаем

Учитывая, что

p = a(1 − e2),

получаем искомое уравнение.

В полярных координатах с началом в центре

Другое уравнение в полярных координатах:

2. Гипербола

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

• — большая полуось;

• — малая полуось;

• — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);

• — фокальный параметр;

• — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

• — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);