Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Уравнение сферы

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = R²,

где (x₀,y₀,z₀) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x₀,y₀,z₀):

где  и 

Билет 43. Однополосный гиперболоид. Два семейства его прямолинейных образующих.

Однополостный гиперболоид

     Каноническое уравнение:

     a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Горловой эллипс:    

     Асимптотический конус:    

     Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

     Прямолинейные образующие 

     Через произвольную точку  проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами  и  где:

     В частности, если точку  выбирать на горловом эллипсе  то уравнениями прямолинейных образующих будут:

Билет 44. Цилиндрические поверхности. Понятие об n-мерной Евклидовой геометрии.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, в котором не фигурирует одна из переменных:

F(x, y) = 0,  F(x, z) = 0 или F(y, z) = 0.

Свойство цилиндрических поверхностей.

Если некоторая точка M0(x0, y0, z0) принадлежит цилиндрической поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0 , то все точки прямой, проходящей через эту точку параллельно оси OZ , также принадлежат цилиндрической поверхности. Такие прямые называются образующими цилиндрической поверхности, а кривая, описываемая уравнением F(x, y) = 0 и получающаяся в сечении любой плоскостью z = h , называется направляющей.

Примеры цилиндрических поверхностей 2–го порядка.

Эллиптический цилиндр. Уравнение

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является эллипсс полуосями a и b(рис. 1).

В частности, уравнение x2 + y2 = R2 в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Гиперболический цилиндр. Уравнение

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является гиперболас полуосями aи b (рис. 2).

Параболический цилиндр. Уравнение

y2 = 2px ( p>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является парабола (рис. 3).

По поводу ”Понятие об n-мерной Евклидовой геометрии”:

http://www.pm298.ru/2pov2.php

http://ru.wikipedia.org/wiki/N-%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3173/%D0%9C%D0%9D%D0%9E%D0%93%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A0%D0%9D%D0%90%D0%AF

http://coolreferat.com/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

Билет 45. Вывести формулу расстояния от точки до прямой на плоскости.