Свойства обратной матрицы

• , где обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц A и B.

• где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Методы вычисления:

1.Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

2.С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы  существует обратная матрица  , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует  матрица , для которой  и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где  и .

Значит, , что и требовалось доказать.

Билет 24. Произведение матриц и его свойства. Умножение матриц

Матрицы можно перемножать между собою, и получать новые матрицы. Но не любые матрицы можно перемножать. Перемножаемые матрицы должны удовлетворять следующему условию:

умножить матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,

то есть матрицы А и В должны иметь размерности  (m×n) и (n×k) соответственно. В результате такого перемножения получится матрица С с размерностью (m×k). Каждый элемент новой матрицы будет представлять собой “произведение” i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В. Подробнее, как умножать матрицы друг на друга смотрите в примерах в конце статьи.

Свойства произведения матриц

Умножение матриц матриц обладает следующими свойствами:

1. А(ВС)=(АВ)С

2. А(В+С)=АВ+АС

3. (А+В)С=АС+ВС

4. λ(АВ)=( λА)В=А(λВ), где λ – любое число

Все это поможет Вам решать примеры и грамотно складывать и перемножать матрицы между собой. Порой знание этих свойств делает операцию перемножения матриц не сложнее перемножения чисел.

Билет 25. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Билет 26. Приведенная СЛАУ - свободные и базисные применения.

Каждая расширенная матрица некоторой СЛАУ, вместо элементарных преобразований СЛАУ удобно проводить строчные элементарные преобразования её расширенной матрицы. Нетрудно заметить, что после выделения в одном уравнении некоторого неизвестного (это неизвестное называется ведущим в данном уравнении) и последующего его исключения из остальных уравнений СЛАУ, соответствующая строка её основной матрицы будет иметь приведённый вид. Поэтому будем говорить, что и уравнение, отвечающее этой строке матрицы, имеет приведённый вид. Если же каждое уравнение СЛАУ, содержащее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет приведённый вид, будем говорить, что СЛАУ имеет приведённый вид.

Ясно, что в этом случае основная матрица СЛАУ тоже имеет приведённый вид.

Базисные переменн ые это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом, все остальные называются свободными

0.1x₁ + 0.2x₂ + 0.4x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆= 1100 0.05x₁ + 0.02x₂ + 0.02x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆= 120 3x₁ + 1x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆= 8000 x₄ x₅ x₆ - базисные переменные

Линейная система n уравнений, где n — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матрицы равен числу её линейно независимых строк или столбцов.

Билет 27. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной СЛАУ.

Выбираем произвольный отличный от нуля определитель. Например чтобы в каждой строке был один элемент отличный от нуля, самое просто взять 1 а остальные 0:

Берем строки этого определителя как значения свободных неизвестных, получим решения, которые образовывают фундаментальную систему решений.

Пример

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

Билет 28. Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Определители 2-го и 3-го порядков.  Определителем (детерминантом) матрицы,  состоящей из одного числа  , называется само это число. Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей: Определителем матрицы A третьего порядка называется число Данная формула называется формулой разложения определителя 3 порядка по элементам первой строки.   Определитель n-ого порядка. Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:  Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников: (+) (-) Слагаемые со знаком плюс представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка, а со знаком минус - на правой части. Билет 29. Нулевая, единичная, треугольная матрица. Матрица поворота на угол a. Запись матрицы через столбцы.

нулевая матрица

матрица, элементы которой равны 0.

единичная матрица

матрица, элементы которой по главной диагонали равны 1, а остальные 0. В русской литературе обозначается буквой E.

верхне треугольная матрица

матрица, у который элементы ниже главной диагонали равны 0.

нижне треугольная матрица

матрица, у которой элементы выше главной диагонали равны 0.

Матрица поворота

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Положительным углам при этом соответствует вращение против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой в левосторонней системе координат.

Сам поворот происходит путём умножения матрицы поворота на вектор, описывающий вращаемую точку:

.

Билет 30. Свойства решений однородной СЛАУ.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, то вектор αx также является решением этой системы. Здесь α — произвольное число.

Если векторы x и y являются решениями однородной системы A·x = 0, то вектор x + y также является решением этой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, а вектор и y — решение неоднородной системы A·x = b, то вектор x +y является решением неоднородной системы A·x = b.

Если векторы x и y являются решениями неоднородной системы A·x = b, то вектор x − y является решением однородной системы A·x= 0.

Я так понял это оно, но правда я ниче не понял.

Билет 31. Теорема о стобцах вырожденной квадратной матрицы.

не нашел такой теоремы помогите братюни((

Билет 32. Перестановочные матрицы. Произведение матриц поворота.

Матрицы А и В называются перестановочными, если AB = BA

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется матрица, умножение любого вектора на которую не меняет его длины.