Как геометрическое место точек через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная ε > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

xy = a² / 2,

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

,

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

и

[Править]Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

где большая a и малая b полуоси.

[Править]Полярные координаты

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

Фокальные радиусы:

       для правой ветви 

       для левой ветви 

 Основное свойство директрис:  где r - фокальный радиус любой точки гиперболы; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.

 В силу симметрии можно сказать, что точки гиперболы расположены внутри тех вертикальных углов, образованных прямыми , внутри которых проходит действительная ось гиперболы. Прямые  называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, в её каноническом виде, задается парой функций:

имеет две асимптоты

.

Билет 39. Прямая линия в Евклидовом пространстве. Направляющий вектор прямой.

Прямая линия в Евклидовом пространстве.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

  • прямые пересекаются;

  • прямые параллельны;

  • прямые скрещиваются.

• Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Направляющий вектор прямой. А. В. А. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной

Билет 40. Канонический вид центральной кривой 2-го порядка.

Эллипс

Гипербола

Парабола

Окружность

Билет 41. Виды уравнений плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

Уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору - нормальный вектор плоскости.

Раскрыв скобки, получим

(D = )

Ax +By +Cz =0 – общее уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки , не лежащие на одной прямой

Уравнение плоскости в отрезках

где , , - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ох, Оу, Oz.

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

, где - направляющие косинусы нормали плоскости, р – расстояние от начала координат до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – это наименьшее расстояние между этой точкой и точками плоскости. Оно равно длине переендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением

если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно

Расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением

вычисляется по формуле

Билет 42. Поверхности вращения. Сфера. Эллипсоид.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой).

Эллипсоид — поверхность. Которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением:

Эллипсоид вращения — это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину (a_x = a_y = a):