Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы и заданы своими координатами (проекциями на координатные оси):

, или , .

• Линейные операции над векторами выполняются как соответствующие операции над координатами:

; .

• Равенство векторов выполняется только тогда, когда выполняется равенство координат:

• Коллинеарность векторов имеет место тогда, когда их координаты пропорциональны:

.

• Если в пространстве задана прямоугольная система координат и точка М, то вектор называется радиус–вектором точки М:

или .

Координатами точки называются координаты радиус–вектора этой точки.

Координаты точки записываются в виде .

• Координаты вектора, заданного координатами начала и конца находятся как разности соответствующих координат конца и начала. Пусть даны точки и . Проекции вектора на оси координат будут:

. (П.4)

Из формулы (П.2) следует, что длина вектора в этом случае равна:

. (П.5)

Пример П.3. Найти координаты вектора , если , , , .

Сначала найдем координаты векторов и :

, .

После этого можно найти координаты вектора :

.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними. Скалярное произведение вектора на вектор :

. (П.6)

Рис. П.5

Из рис. П.5 видно, что . Поэтому:

. (П.7)

Для любых векторов , , и скаляра выполнены следующие свойства скалярного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. тогда и только тогда, когда .

Выражение скалярного произведения через координаты. Если векторы заданы координатами и , то

. (П.8)

Некоторые приложения скалярного произведения

• Нахождение угла между векторами

. (П.9)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

.

• Нахождение проекции вектора на заданное направление

. (П.10)

• Нахождение работы постоянной силы. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (рис. П.6). Тогда работа силы при перемещении равна .

Рис. П.6

Пример П.4. Найти , если , и .

Воспользуемся свойствами и определением скалярного произведения:

.

Пример П.5. Найти угол между векторами и .

Найдем скалярное произведение векторов и их длины:

,

, .

Отсюда по формуле (П.9) найдем косинус искомого угла:

.

Искомый угол .

Векторное произведение двух векторов

Три некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой.

Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор (рис. П.7) который:

Рис. П.7

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. , где ;

2. перпендикулярен плоскости векторов и , т.е. и ;

3. векторы , , образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или .

Для любых векторов , , и скаляра выполнены следующие свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. условие коллинеарности векторов:

, в частности, .

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей и :

. (П.11)