Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось
Линейными операциями над векторами являются операции умножения вектора на число и сложение (вычитание) векторов.
Произведением
вектора
на число
(скаляр)
называется
новый вектор, имеющий длину
и направленный одинаково с
(при m
> 0) или противоположно
(при m
< 0).
Пусть даны два
вектора
и
.
Построим равные им векторы
и
(т.е. перенесем конец
и начало
в одну и туже точку В).
Тогда вектор
называется суммой
векторов
и
(обозначается
).
Суммой трех векторов
называется сумма вектора
и вектора
(рис. П.2). Аналогично определяется сумма
четырех и более векторов.
Разностью векторов
и
называется сумма вектора
и вектора, противоположного
,
т. е. вектор
или
просто
.
В частности, в параллелограмме OACB,
построенном на данных векторах
и
,
одна вектор-диагональ
есть сумма
,
а другая
есть разность
данных
векторов (рис. П.3).
Рис. П.2 Рис. П.3
Для
любых векторов
,
,
и скаляров
,
,
выполняются следующие свойства
линейных операций:
-
; -
; -
; -
; -
.
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами аналогично преобразованиям в алгебре вещественных чисел.
Пусть в пространстве
задана ось l,
т.е. прямая с заданным на ней направлением.
Направление можно задать, указав
некоторый вектор, коллинеарный данной
прямой. Пусть вектор
составляет угол φ
с осью l.
Тогда проекция
вектора на эту ось
определяется формулой:
.
Для
любых ненулевых векторов
,
и скаляра
выполняются следующие основные
свойства проекций:
-
,
если 0 ≤ φ
< π/2;
,
если π/2 < φ
≤ π;
,
если φ =
π/2; -
; -
.
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к линейным операциям над проекциями этих векторов.
Прямоугольные координаты вектора в пространстве
Пусть даны три
взаимно перпендикулярные координатные
оси
,
,
и дан произвольный вектор
пространства. Приложим вектор
к началу координат:
(рис. П.4). Проекции вектора
на оси координат
,
,
называются
прямоугольными
координатами
вектора
.
Рис. П.4
Единичные векторы координатных осей i, j, k называются ортами координатных осей.
Разложение вектора по ортам координатных осей:
.
(П.1)
Модуль или
длина вектора
выражается через его координаты формулой:
.
(П.2)
Если α,
β, γ - углы
вектора
с осями координат
,
,
соответственно, то:
,
,
,
(П.3)
Числа
,
,
называются
направляющими
косинусами
вектора
.
Направляющие косинусы вектора обладают следующим свойством:
.
Вектор однозначно
определяется своими координатами,
поэтому говорят, что дан вектор
или
.
Пример П.2. Найти
направляющие косинусы вектора
.
Для того чтобы
найти направляющие косинусы вектора,
сначала нормируем
его, т.е. найдем координаты орта данного
вектора
:
;
.
Координатами орта
являются
направляющие косинусы данного вектора,
следовательно
,
,
.