§ 4. Процедура решения V варианта закона сравнительных оценок для полной матрицы

В V варианте закона, записанном в общем виде (9), единицы измерения шкальных значений всегда можно подобрать так, чтобы константа "с" была равна 1. Тогда:

В случае отсутствия ошибок в оценках искомое различие будет равно наблюдаемому (обозначим его z'_j,i). Но в результате ошибок между z'_j,i и z._j,i будет некоторое расхождение σ. Задача заключается в получении такого множества оценок шкальных значений стимулов, для которых сумма квадратов всех расхождений является минимальной, т.е. необходимо минимизировать величину

Подставив вместо z_i,j идеальные значения, получим:

Все а_i,j для всех z_i,j из матрицы Z дадут матрицу ошибок α.. Чтобы минимизировать каждую α_i,j, необходимо взять частную производную α_i,j по S_i и S_j. Каждое частное значение S_i в матрице ошибок а появляется только в i-той строке и i-том столбце, но поскольку матрица ошибок так же кососимметрична [z_i,j = -z_j,i и (Si - Sj) = - (S_j - S_i)], как и матрица Z, то для каждой S_i частная производная будет касаться только i-гo столбца. Дифференцируя элементы каждого столбца по S_i, получим:

Приравняем частную производную нулю и после переноса получим:

Разделим выражение (16) на n и возьмем начальное значение шкалы, равное . В результате получим:

Таким образом, для минимизации ошибки необходимо просто взятъ среднее арифметическое по столбцу матрицы Z и мы получим оптимальное значение шкальной величины S_i.

Рассмотрим практический пример решения V варианта закона сравнительных оценок методом наименьших квадратов (данные вымышлены). Испытуемому в случайном порядке предъявляются 6 цветных карт из малого набора теста Люшера и просят в каждой паре выбрать наиболее красивый. Каждая пара предъявляется по 50 раз. В итоге для одного из испытуемых была получена следующая матрица частот F (табл.1):

Таблица 1

Матрица частот — f

Примечание: элементом матрицы f_i,j является частота, с которой в паре j,i стимул i оценивался более красивым, чем стимул j.

Полученная матрица частот F преобразуется в матрицу вероятностей Р делением частоты f_i,j на число предъявлений (N = 50).

Таблица 2

Матрица вероятностей р

Примечания: элементом матрицы р_i,j является вероятность, с которой стимул i в паре j,i оценивался более красивым, чем стимул j.

Каждое значение вероятности р_i,j из матрицы Р переводится далее с помощью таблицы в единицы стандартного отклонения нормальной кривой — z_i,j, по которым и вычисляются шкальные значения S_i каждого стимула.

Таблица 3

Матрица z - оценок

Примечания: элементом матрицы z_i,j является вероятность р_j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.

Рассмотренная процедура дает возможность для каждого стимула S_i получить его значение на шкале интервалов.

§5. Процедура решения V варианта закона сравнительных суждений для неполной матрицы исходных данных

Реальные экспериментальные данные очень часто отличаются от той классической матрицы данных, которая анализировалась выше. Наиболее распространенный артефакт в процедуре парного сравнения, который связан с ограничением на возможное число предъявлений, — стопроцентное предпочтение одного стимула другому, что приводит к появлению в матрице вероятностей нулей и единиц. Ноль и единица в терминах модели Терстоуна не несут сравнительной информации о различии стимулов, поэтому не могут быть использованы для расчетов шкальных значений стимулов.

Для матриц с нулями и единицами (они называются неполными матрицами) существуют особые алгоритмы анализа. Наиболее распространенный из них подробно описан в работе Торгерсона (1958) и вкратце состоит в следующем.

Из выражения (12) для стимула j следует, что стимул j+1 будет описываться следующим выражением:

Вычтя из уравнения (18) уравнение (12), мы получим сравнительное различие для интересующего нас стимула косвенным путем. В терминах минимизированной ошибки эта величина может быть вычислена из выражения:

где n_j — есть индекс суммирования.

Для практического удобства матрицу Z следует перестроить таким образом, чтобы столбцы были упорядочены по величине. Порядок столбцов в матрице Z определяется суммой по столбцу матрицы Р. Для такой упорядоченной матрицы Z различие S_j+e - S, можно прямо вычислить из выражения (19). Если мы шкальное значение первого стимула (S;) приравняем к нулю, то шкальное значение любого стимула есть сумма шкального значения стимула и расстояния между данным стимулом и предшествующим:

Рассмотрим практический пример решения для неполной матрицы частот, взятый из работы Торгерсона (1958). Пусть нам дана матрица вероятностей предпочтения i-го стимула j-му с некоторыми вырожденными (пустыми) элементами, равными 0 или 1.

Таблица 4

Матрица вероятностей Р

Примечания: элементом матрицы р_i,j является вероятность, с которой стимул i в nape j,i оценивался более предпочтительным, чем стимул j.

Преобразуем вероятности р_i,j в единицы стандартного отклонения нормального распределения — z_i,j.

Таблица 5

Матрица Z — оценок

Примечания: элементом матрицы Z_i,j является вероятность р_j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.

Таблица 6

Матрица Z' — оценок

Примечания: элементом матрицы Z_i,j является вероятность р'_j,i преобразованная в единицы стандартного отклонения. Столбцы упорядочены по возрастанию ∑ p'_j,i .

Переставим столбцы в матрице Z в таком порядке, чтобы первый столбец имел наименьшую сумму элементов, а последний — наибольшую.

Таблица 7

Матрица разностей между столбцами

Из матрицы Z' можно получить матрицу различий между соседними парами столбцов, вычитая их поэлементно один из другого. В каждой j-й строке элемент этой матрицы будет равен (z_j,i+1 - z_j,i).

Пользуясь выражением (20), вычисляем из полученных различий шкальные значения стимулов, приняв, что S₁ = 0:

S₁ = 0,

S₃ = 0 + 1.5 = 1.5,

S₅ = 1.5 + 0.53 = 2.03,

S₄ = 2.03 + 0.98 = 3.01,

S₂ = 3.01 + 0.56 = 3.97.

Из рассмотренной процедуры видно, что недостающие элементы матрицы компенсируются наличием внутренней связи между элементами столбца, что позволяет рассматривать разность между столбцами матрицы как результат алгебраической интерполяции отсутствующих элементов в столбце.