Ответы.
1a. (x 2)4 18(x 2) + 38.
1б. f(x) = (x 2)(3x4 + 7x3 + 14x2 + 9x + 5), f(x0) = 0.
2а. (x 1)3 ( x + 3)2(x 3).
2б. (x + 1)4(x 2)2.
3.
f(x) = 1 +
(x
1)
(x
1)(4x
9) +
(x
1)(4x
9)(x
4).
Задание № 13 2.
1. Построить полином наименьшей степени, имеющий корни:
а) 1 (тройной корень), i (простой корень) .
б) 1 (тройной корень), 3, 4(простые корни).
2. Сумма двух корней многочлена 2х3 х2 7х + равна 1.
Найти .
3. Определить так, чтобы f(х) f(2) < 0,01 при всех х,
удовлетворяющих неравенству х 2 < , f(х) = х4 3х3 + 4х + 5.
4. Найти х так, чтобы f(х) < f(1) , где f(х) = х4 4х3 + 6х2 4х + 5.
Ответы.
1a. х4 + (3 i)x3 + (3 3i)x2 + (1 3i)x i.
1б. (x + 1)2(x 3)(x 4) = x5 4x4 6x3 + 16x2 + 29x + 12.
2. = 3.
-
= 1/25.
4.
x = 1 + (сos
+ isin
),
<
.
Задание № 145.
1.Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:
а) х3 + х 5, б) х4 12х2 16х 4, в) х4 х3 + х2 х 1.
2.Определить все многочлены с коэффициентами 1, имеющие
только вещественные корни.
3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:
х4 4х3 + 7х2 8х + 3.
4.Определить число вещественных корней уравнения:
х5 5ах3 + 5а2х + 2b = 0.
5.Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные корни уравнения х3 3х2 4х + 1 = 0.
6.Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения
3х4 + 4х3 + х2 + х 3 = 0, содержащийся в интервале (0,1).
Ответы.
1а. 1 вещ. корень в интервале: (1, 2).
1б. 4 вещ. корня в интервалах: (3, 2), (2, 1), (1, 0), (4, 5).
1в. f = x4 x3 + x2 x 1, f1 = 4x3 3x2 + 2x 1, f2 = 5x2 + 10x + 17, f3 = 8x 5, f4 = 1. 2 вещ. корня в интервалах: (1, 2), (1, 0).
2. x3 + x2 x 1, x2 x 1, x 1.
3. 0 < xi < 3.
4. Ряд Штурма: f = x5 5ax3 + 5a2x + 2b, f1 = x4 3ax2 + a2,
f2 = ax3 2a2x b, f3 = a(a2x2 bx a3), f4 = a(a5 b2)x, f5 = 1. Если a5 b2 > 0, то
a > 0, все старшие коэф. > 0, все 5 корней fвеществ., если a5 b2 < 0, то в зависимости от знака а распределение знаков выглядит:
f f1 f2 f3 f4 f5
a>0 + + + +
+ + + + + + 5. 3,9489, 0,2172, 1,1660.
a<0 + + +
+ + + + + 6. 0,6180.
Задание № 15 4.
1.Ассоциативна ли операция на множестве М, если
а) М = Z, x y = x y;
б) М = Z, x y = x2 + y2;
в) М = R, x y = sinxsiny;
2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R+ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами коммутативности, ассоциативности ?
а)
а
b = а/b; в) а
b = 
;
б) а b = (а + b)/2; г) а b = ab ba;
3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами:
а) ( 1, 1, );
б) множество степеней данного числа а, а R, а 0 c целыми показателями относительно умножения;
в) множество всех комплексных корней фиксированной степени n из 1 относительно умножения;
г) множество невырожденных матриц относительно умножения;
д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;
е) множество диагональных матриц относительно сложения;
ж) множество R+, если операция определена так:
а b = ab;
з) множество R+, если операция определена так:
а b = a2b2;
и) перестановки чисел (1, 2,..., n) относительно умножения;
к) множество корней всех целых положительных степеней из 1 относительно умножения.