Задание 5-4.

1. Как изменится определитель порядка n , если:

а) из каждой строки, кроме последней вычесть предыдущую строку, а из последней

вычесть прежнюю первую строку ?

б) к каждому столбцу, начиная со второго прибавить предыдущий столбец, а к

первому прибавить прежний последний столбец ?

в) Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна

сумме строк с нечетными номерами ?

2. Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество:

3. Вычислить определители:

4. Предложить схему вычисления определителей 3-го порядка,

отличающуюся от “правила “треугольников”.

5. Предложить схему вычисления определителей 4-го порядка.

Ответы

  1а. Обратится в 0. 3а. 4. 3д. 3(x²  1)(x²  4).

1б. Четн пор.- 0, 3б. 27. 3е. b₁b₂ ...b_n.

нечетн.-удвоится. 3в. 1/35 (привести 3ж. .

1в. 0. к общ. знам.,

2. Док-во. вынести за опр).

3г. 5.

Задание 6-2.

1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

2. Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

3. Вычислить определители методом представления их в виде суммы

определителей или другим методом.

Ответы

1. n(1).

2. (a₀ + a₁ +...+ a_n)xⁿ.

3. a₀x₁x₂ ...x_n + a₁y₁x₂ ...x_n + a₂y₁y₂ ...x_n +...+ a_ny₁y₂ ...y_n.

Указание: получить соотнош.: oпределитель вычислить разложением по 1-ой строке.

4. 52^n-1  43^n-1.

5.

Указание: положить x_i = (x_i  a_i) + a_i.

6. b₁b₂...b_n.

7. 

8. 2(n  2)!.

Задание № 74.

1.Найти вектор х из уравнения:

3(а₁  х) + 2(а₂ + х)=5(а₃ + х), где а₁ = (2, 5, 1, 3), а₂ = (10, 1, 5, 10),

а₃ = (4, 1, 1, 1).

2.Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1);

б) (1988, 1989), (8891, 9891), (11, 111).

3.Система векторов а₁, а₂,...,а_k линейно независима. Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

а) b₁ = 3а₁ + 4а₂  5а₃  2а₄ + 4а₅,  б) b₁ =а₁ + а₂, 

b₂ = 8а₁ + 7а₂  2а₃ + 5а₄  10а₅,  b₂ =а₂ + а₃, 

b₃ =2а₁  а₂ + 8а₃  а₄ + 2а₅  b₃ = a₃ + а₄,

.......

b_k-1 = а_k-1 + а_k, 

b_k = а_k + а_k+1.

4.Найти все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, а₃: а₁ = (3, 2, 5), а₂ = (2, 4, 7), а₃ = (5, 6, ),

b=(1,3,5).

5.Найти какойнибудь базис системы векторов и выразить через него остальные векторы системы:

а) а₁ = (3, 2, 5, 4), а₂ = (3, 1, 3, 3), а₃ = (3, 5, 13, 11);

б) а₁ = (2, 1, 3), а₂ = (3, 1, 5), а₃ = (4, 2, 1), а₄ = (1, 0, 7).

 

Ответы

1. (1, 2, 3, 4). 3а. Да. 5а. (a₁, a₂), a₃ = 2a₁  a₂.

2а. Л. незав. 3б. Нет. 5б. (a₁, a₂, a₃), a₄ = a₁ + a₂  a₃.

2б. Л. зав. 4.   12.