Двумерное векторное подпространство.

Двумерным векторным подпространством является такое векторное подпространство базис которого состоит из двух векторов {е₁, е₂}. Базис векторного подпространства называется ортонормированным, если длины базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: {i, j}. Множество всех векторов, параллельных одной плоскости, образует двумерное векторное подпространство.

Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е₁ + у е₂, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать m(х, у).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m= x а + y b и а(а₁,а₂), b(b₁,b₂) m(m₁,m₂)

m₁ =x a₁ + y b₁, m₂ =x a₂ + y b₂.

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j} а(а₁,а₂), b(b₁,b₂), то имеют место формулы

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ , │а│=

cos (а, b) =

1.46. В правильном шестиугольнике АВСDEF векторы = е₁, = е₂ выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов ,

ОТВЕТ. .(, ), (1,1), (-,), (-, -).

1.47. В ромбе АВСD векторы = е₁, = е₂ выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов , .

ОТВЕТ. (, -), (,), (-,), (-, -).

1.48. Даны векторы а(2,1), b (1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с(9,1) по векторам а и b.

ОТВЕТ.. с = а + 7 b.

1.49. Даны векторы а(3,-2), b (-2,1), с(-9,6).Можно ли каждый из этих векторов разложить по двум другим ?

ОТВЕТ.. а = - с, с = -3 а, вектор b нельзя разложить по векторам а и с .

1.50. В треугольнике АВС (1,3), (2,1). АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС, определить координаты трех векторов,

ОТВЕТ.. (, 2), (0, ), (-,).

1.51. Дан ортонормированный базис и векторы а(1,0), b (2,2), с(4,-4). Найти углы между парами этих векторов.

ОТВЕТ. (а, b) = 45°, (а,с) = 45°, ( b,с) = 90°.

1.52. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты (4,6), (8,-4) в ортонормированном базисе.

ОТВЕТ.. ВМ = , cоsАМС = - .

1.53. Дан базис {е₁, е₂}. Зная координаты векторов а(а₁,а₂) и b (b ₁, b ₂), длины базисных векторов и угол между базисными векторами. , найти скалярное произведение а b.

ОТВЕТ. а b = (а₁b₁) │е₁│² + (а₂b₂) │е₂│² + (а₁b₂ + а₂ b₁) │е₁││е₂│ Соs(е₁,е₂).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Векторы и равны. Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ?

2. Верно ли соотношение а ↑↑с, если: а) а↑↑b и b↑↑с; б) а↓↑b и b↑↓с?

3. Что можно сказать о векторе а, если а↑↑-а ?

4. Какому условию удовлетворяют векторы , если точки А, В, С лежат на некоторой окружности?

5. Что можно сказать о векторах а и b, если: а) |а + b | = |а| + | b |;

б) |а + b | = |а| - | b |; в) |а - b | = |а| + | b| ?

7. Пусть а, b, с, d произвольные векторы. Как доказать, что:

а) а + b + с + d = с + а + d + b; б) а – b = – (b – а) ; в) а – ( b + с) = (а – b) – с ?

8. Может ли длина разности двух векторов быть больше и длины вычитаемого и длины уменьшаемого векторов?

9. Что можно сказать о векторах а и b, если: а) векторы а + b и а – b коллинеарны; б) |а + b | = |а – b | ?

10. Какому условию удовлетворяют векторы а и b, если уравнение

а + х b = 0 имеет решение?

11. Известно, что α₁ а + α₂ b + α₃ с = β₁ а + β₂ b + β₃с. Следует ли из этого равенства, что α₁ = β₁, α₂ = β₂, α₃ = β₃, если векторы а, b, с : а) компланарны; б) не компланарны?

12. Приведите пример компланарных векторов а, b, с, для которых не существует чисел α и β , удовлетворяющих равенству с = α а + β b ?

13. Дан вектор р(р₁,р₂,р₃) в базисе {е₁, е₂ ,е₃}. Найти координаты вектора р в базисе: а) {е₃, е₂ ,е₁}; б) {-е₁, е₂ ,-е₃}; в) {е₁, 2е₂ , 4е₃}.

14. Для любых ли векторов а, b, с, где а и b коллинеарные векторы, верно равенство: (а с) b = а ( с b ).

15. Что можно сказать о векторе х, если а х = b х = с х = 0, где { а, b, с} – некоторый базис?

17