задачи проективная геома
.docЗадачи к зачету (3 семестр) по проективной геометрии
1.
Доказать следующие утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей в расширенном аффинном пространстве:
а) любые две прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку;
б) любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку;
в) любые две плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую;
г)Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2.
а) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A1, A2, E). Построить точки М(1, –1), N(–2, 1), L(–2, 2) по их координатам в этом репере.
б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A1, A2,). Построить точки М(–1, 1), N(1, –2), L(–2, 3) по их координатам в этом репере.
3.
а)На расширенной прямой задан проективный репер R = (A1, A2, E), A1, A2 – собственные точки прямой , E – середина отрезка A1A2. Найти координаты несобственной точки прямой в репере R.
б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A1, A2, E1), D – середина отрезка A1A2. Найти координаты точки D в репере R.
4.
а) На расширенной плоскости задан проективный репер R = (A1, A2, A3, E), вершины и единичная точка которого – собственные точки. Построить следующие точки по их координатам в репере R: M(1, 2, 0), В(– 1, 3, 2), N(–1, 1, 2), K(–2, 1, 3), L(0, –2, 1), Q(0, –4, 0).
б) На расширенной плоскости задан проективный репер R = (A1, A2, A3, ) с собственными вершинами и несобственной единичной точкой . Построить точки М(1, 1, 2) и N(–1, 0, 2) по их координатам в репере R.
в) На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R = (, , A3, E): а) m(0, 1, 2); б) n(2, 3, 1).
5.
а) Сформулировать предложение, двойственное данному утверждению, в проективном пространстве:
а1) через любую прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость;
а2) через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость;
а3) две прямые, проходящие через одну точку, принадлежат одной плоскости;
а4) если три прямые попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они имеют единственную общую точку;
a5) существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
б) Пользуясь принципом двойственности, доказать, что на проективной плоскости:
б1) через каждую точку проходит не менее трех прямых;
б2) существуют по крайней мере три прямые, не проходящие через одну точку.
6.
На расширенной плоскости построить дезарговы трехвершинники таким образом, что:
а) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – собственная точка;
б) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка; в) дезарговой осью является собственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка.
7.
Длина имеющейся линейки меньше, чем расстояние между данными точками А и В. Построить прямую, проходящую через точки А и В.
8.
Найти значения сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек А, В, С, D, если (АВ, СD) = .
9.
На расширенной прямой даны три точки A, B и C. Построить на этой прямой такую точку D, такую, что
а) (АВ, СD) = 2;
б) (АВ, СD) = – 3;
в) (АВ, СD) = ;
г) (AC, BD) = – 1;
д) (BD, CA) = – 3;
е) (CB, AD) = 2.
10.
Доказать, что если С – середина отрезка АВ расширенной прямой, то (АВ, С) = – 1.
11.
Гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, собственной осью g, и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить:
а) прообраз некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии;
б) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в собственной точке;
в) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в несобственной точке;
г) образ несобственной прямой.
12.
Гиперболическая гомология f задана центром в несобственной точке , собственной осью g, и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить:
а) образ некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии;
б) образ некоторой собственной прямой, отличной от оси гомологии.
13.
На расширенной прямой даны точки А, В и С. Используя свойства полного четырехвершинника, построить с помощью одной линейки точку D такую, что:
а) (АВ, СD) = – 1;
б) (АС, ВD) = – 1;
в) (АD, BC) = – 1.
14.
Дан отрезок АВ и его середина. Через данную точку М, не принадлежащую прямой АВ, с помощью одной линейки провести прямую параллельно данному отрезку.
15.
На расширенной плоскости проективное, но не перспективное отображение прямой g на прямую g' задано тремя парами соответственных точек: A и A', B и B', C и C'. Построить:
а) прообраз собственной точки N' прямой g';
б) образ несобственной точки К прямой g;
в) прообраз несобственной точки L' прямой g';
г) образ точки S пересечения этих прямых;
д) прообраз точки S пересечения этих прямых.
16.
На расширенной плоскости проективное, но не перспективное отображение пучка [О] на пучок [О'] задано тремя парами соответственныхпрямых: a и a', b и b', c и c'. Построить:
а) образ собственной прямой пучка [О];
б) прообраз собственной прямой пучка [О'].
17.
Проективное преобразование f прямой g задано тремя парами А и А', В и В', С и С' соответственных точек. Построить:
а) образ;
б) прообраз некоторой точки М этой прямой;
в) образ несобственной точки.
18.
а) Инволюция прямой задана инвариантной точкой А и парой соответственных точек М и М'. Построить вторую инвариантную точку инволюции.
б) Инволюция прямой задана инвариантной точкой А и парой соответственных точек М и М'. Построить прообраз любой точки N этой прямой в заданной инволюции.