Задачи по векторной алгебре Сложение векторов и умножение вектора на число.
Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а. Если направленный отрезок а, то вектор а можно обозначать . Множество всех нулевых направленных отрезков образует нулевой вектор, который будем обозначать так: 0.
Длиной вектора называется длина любого его представителя.
Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так:
а ↑↑ b. Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓ b.
Вектор называется параллельным прямой, если любой его представитель либо параллелен прямой, либо лежит на этой прямой. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Коллинеарные векторы будем обозначать так а││ b.
Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)
Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» будем понимать откладывание вектора а от какой либо точки О, т.е. построение такой точки А, что а = .
Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (–а).
Суммой векторов а и b называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор = а, от точка В отложим вектор = b, тогда с = а + b = . Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис.1.1 а) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы = а и = b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор
= а + b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 1.1 b)
Рис. 1.1 а. Рис. 1.1 b.
Сложение векторов обладает следующими свойствами:
1°. Для любого вектора а а + 0 = 0 + а.
2°. Для любого вектора а а + (– а) = (– а) + а = 0.
3°. Для любых векторов а и b a + b = b + a (свойство коммутативности).
4°. Для любых трех векторов a, b, c (a + b)+ c = a + (b + c) (свойство ассоциативности).
Произведением число λ на вектор а (или произведением вектора а на число λ ) будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющий двум условиям:
1) длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора а
│b│= │λ││а│, 2) если λ 0, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ < 0, то вектор b противоположно направлен с вектором а (рис.1.2) .
Рис. 1.2
Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:
1°. Для любого вектора а 1 а = а.
2°. Для любого вектора а 0 а = а.
3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).
4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.
5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ(a + b) = λa + λb.
Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма n векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы n векторов строим эту сумму по правилу n-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.
ПРИМЕР 1.1
Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить вектор
– +2.
РЕШЕНИЕ
F
-
– +2 = + +2.
-
Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора , затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2.
Тогда – +2 = .
ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору .
ПРИМЕР 1.2
АВСDА1В1С1D1 – параллелепипед. Построить вектор
- + – + ( – )
РЕШЕНИЕ
Первый способ.
-
– + – + ( – ) = + + + + .
-
Поменяем местами слагаемые + + + + =
+ + + + .
-
Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом: (См. рис)
, , , , , где М – середина АD, О = АС ВD.
+ + + + = .
Второй способ.
– + – + ( – ) = + + + ( + ) = + + + ( + ) = + + + = + + + = + + + = + + =
= .
Существуют и другие пути построения искомого вектора.
ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору .
Решить следующие задачи.
1.1. Дан параллелограмм АВСD . Построить векторы: а) – ,
б) , в) + , г) + – – ,
д) + – – .
ОТВЕТ.. в) ; г) ; д) .
1.2. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить векторы: а) + – ; б) + – + .
ОТВЕТ.. а) ; б) .
1.3. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. N, К, М – середины ребер D1С1, ВС, СС1. Построить векторы: а) + – – ;
б) + + – – ; в) + – + .
ОТВЕТ. а); б); в) .
1.4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что = ( + ).
1.5. Дан тетраэдр АВСD. К – точка пересечения медиан грани ВСD. M, N, S – середины ребер СD, ВD, АС. Построить векторы
а) + – + , б) – – + .
ОТВЕТ. . а); б) .
.
1.6. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. М и N – середины ребер D1С1 и АD, О = В1С ВС1. Построить векторы: а) + – ;
б) + – - + (+ );
в) + – + – – .
ОТВЕТ. а); б); в) .
1. 7. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства: 1) = ( + ) , в частности, = ();
2) = ( + + ).
1.8. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что
+ + = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.
1.9. Основанием пирамиды МАВСD является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что
1.10. В тетраэдре АВСD М, К, Р – середины ребер ВС, СD, DВ. Доказать, что + .
1.11. В треугольной призме АВСА1 В1С1 М и М1 – точки пересечения медиан оснований АВС и А1В1С1. Доказать, что .
1.12. АВСD параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что + = + .
1.13. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСD и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство
+ = + , то АВСD – параллелограмм.
ЗАМЕЧАНИЕ.
1) Даны векторы с1, с2, . . .сn и числа α1 , α2 , … αn . Вектор
α1 с1 + α2 с2 + … + αn сn называется линейной комбинацией векторов
с1 , с2 , … сn , а числа α1 , α2 , … αn называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Если вектор а является линейной комбинацией векторов с1, с2, . . .сn, т.е.
а = α1 с1 + α2 с2 + … + αn сn, то будем говорить, что вектор а выражен через векторы с1, с2, …сn или что вектор а разложен по векторам с1, с2, …сn .
2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор а мы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая ПРИМЕР1.3.
ПРИМЕР 1.3
Дан тетраэдр АВСD. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АD и DМ = DА. = а, = b, = с. Выразить вектор через векторы а, b, с.
РЕШЕНИЕ.
-
Представим вектор как сумму двух векторов:
= . (1)
-
Теперь вектор представим в виде линейной комбинации векторов а, b, с.
= 2 = 2( ) = 2 ( -с - b) (2).
-
Теперь выразим вектор как линейную комбинацию векторов а, b, с.
= = b + 3 = b – 3 а. (3)
-
В равенство (1) подставит разложения векторов и из равенств (2) и (3). = 2 ( -с - b) + b – 3 а = - 3 а – b – 2 с.
ОТВЕТ. = - 3 а - b – 2 с.
1.14. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О.
а) Выразить векторы , , через векторы и ;
б) выразить векторы , , через векторы и .
ОТВЕТ. а) = , ;
б) = - (), , .
ОТВЕТ. а) = , ;
б) = - (), , .
1.15. АВСD – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АD, АВ, ВС, СD.
а) Выразить векторы и через векторы , , ;
б) выразить векторы и через векторы , , .
ОТВЕТ. а) = - , = - – – ;
б) = + , = - + – .
1.16. АВСDА1В1С1D1 – куб. О = В1С ВС1, М – середина АВ.
а) Выразить вектор через векторы , , ;
б) выразить векторы через векторы , , .
параллелен биссектрисе угла АОВ.
ОТВЕТ. а) = – + ; б) = - – ,
– – , = - + .