Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними

а b = │а││b│cos (аb).

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: для любых векторов а, b, c и любого числа λ

1) а b = b a, 2) (a + b) c = a c + b c, 3) (λ a) b = a (λ b) = λ (a b).

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе{i, j, k } а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), то имеют место формулы

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ + а₃ b₃, │а│=

cos (а, b) =

1.33. АВСD – ромб с углом А равным 60° и стороной АВ равной 4. Найти скалярное произведение .

ОТВЕТ.. 8.

1.34. М – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС со стороной равной 2. Найти скалярное произведение .

ОТВЕТ.. -.

1.35. АВСD – квадрат стороной равной 5. Найти скалярное произведение .

ОТВЕТ. -25.

ЗАМЕЧАНИЕ Во всех задачах этого пункта будем считать, что дан ортонормированный базис

1.36. а(1,-1,3), b (2,4,-5), с(1,-2,1). Найти: 1) а b, 2) | с |, 3) Соs( b, с).

4) (а + b + 5с) · (2 b - 4с), 5) (а – b) · (с – а) .

ОТВЕТ. 1) -17, 2) , 3) - , 4) -164, 5) -11.

ПРИМЕР 1.11

Дан треугольник АВС и ортонормированный базис. М ВС и ВМ : МС = ,

Р АС и АР : РС = . АМ ВР = АD . Найти СоsМDР, если (0,9,12), (12,24,36).

РЕШЕНИЕ

Угол МDР равен углу между векторами и или углу между сонаправленными с ними векторами и Поэтому СоsМDР = Соs(,) =

Найдем координаты векторов и. = = + .

Поэтому (3, -3, -3). = + = + = + ( + ) = + . Поэтому (4, 14,20).

Соs(, ) = (12 - 52 – 60) : = - .

ОТВЕТ. СоsМDР = - .

1.36.В параллелограмме АВСD (-8,0,6), (-3,-4,0). Найти ВАD.

ОТВЕТ.. – .

1.37. Дан базис{i, j, k }. Найти косинусы углов, образованных вектором

а(5, -, 3) с базисными векторами i, j, k.

ОТВЕТ. cоs( i, а) = , cоs( j, а) = - , cоs( k,а) = .

1.38. Дан тетраэдр АВСD. (1,4,1), (2,-3,-2), (0,5,0). Найти СоsВАМ, где М – середина СD.

ОТВЕТ. ,

1.39. В пространственном четырехугольнике АВСD (1,6,-2),

(5,3,-1), (1,-7,-1). Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикуляры.

1.40. Дан четырехугольник АВСD. (6,0,-8), (0,10,0), (-6,0,8). Доказать, что этот четырехугольник является квадратом.

1.41. Найти длину медианы АМ треугольника АВС и угол АМВ, если (1,-1,2), (3,5,-4).

ОТВЕТ.. АМ = 3, cоsАМВ ,

1.42. Найти длины медианы АD треугольника АВС, если (0,4,0),

(-3, 0,0).

ОТВЕТ. АD = .

1.43. В треугольнике АВС (2,1,3), (0,1,1) Найти косинус угла между медианой АМ и высотой АН.

ОТВЕТ. cоsМАН =.

1.44. АМ и АD медиана и биссектриса треугольника АВС. Найти косинус угла МАD, если (0,4,0), (-3, 0,0).

ОТВЕТ. cоsМАD = .

1.45. В треугольнике АВС АМ - медиана, АD –биссектриса, АН – высота. Найти длину АМ и косинус угла НАD, если (2,0,0), (0,0,4).

ОТВЕТ.. АМ = , СоsНАD =.