![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
2.2. Основные свойства интеграла по мере области
-
Аддитивность относительно подынтегральной функции
(при этом каждый интеграл должен существовать).
Для доказательства достаточно учесть, что
2. Однородность
,
С = const.
Это свойство следует из очевидного равенства
Объединяя свойства 1 и 2, можно сказать, что интеграл по мере области является линейным функционалом.
3.
Если f
(P)
1, то
.
Доказательство следует из определения интеграла по мере (формула (2.1)).
Конкретизируем это важное свойство:
-
– длина отрезка
;
-
– длина линии L;
-
– площадь области D;
-
– площадь поверхности Q;
-
– объём тела Т.
4.
Если
,
то
.
Например:
1) двойной интеграл по области G, которая является дугой кривой;
2)
определенный интеграл, когда областью
является точка, т. е. отрезок
.
5. Аддитивность относительно области интегрирования
,
если
.
Доказательство
Рассмотрим область в пространстве R2. Тогда
.
6. Теорема о знаке интеграла по мере.
Если
.
Доказательство следует из определения интеграла по мере (формула (2.1)).
7.
Если
,
то
.
Доказательство
Так
как
,
то
.
Проинтегрируем обе части этого неравенства
по области G:
.
Тогда
.
Из этого свойства следует, что неравенства можно почленно интегрировать.
8.
Если
,
то
.
Доказательство следует из свойств 3 и 7.
Это свойство определяет двустороннюю оценку интеграла по мере.
Пример
1. Рассмотрим
определенный интеграл.
Сравним
площади фигур
,
,
.
Из рис. 2.5 очевидно, что
.
Вычислив площади прямоугольников, получим
.
9. Оценка модуля интеграла по мере области
.
Доказательство
По определению интеграла по мере имеем
.
Воспользуемся
свойством модуля
,
тогда
.
Таким образом, получаем
.
10.
Теорема о
среднем значении функции в области с
ненулевой мерой.
Если функция f(P)
непрерывна на замкнутой ограниченной
фигуре G,
то найдется такая точка
,
что
.
Доказательство
Так
как фигура G
ограничена и функция f(P)
непрерывна, то функция f(P)
принимает на G
свои наибольшее
и наименьшее
значения, т. е.
.
Проинтегрируем это неравенство
.
Воспользуемся свойством 8
.
Разделим
неравенство на
:
,
т. е. величина
заключена между
и
.
Функция f(P)
непрерывна и принимает значения между
и
.
Значит, она должна принять и это значение
в некоторой точке P0.
Таким образом,
.
Пример
2. Рассмотрим
определенный интеграл.
На
отрезке
найдется точка
такая, что площадь криволинейной трапеции
аАВb
будет равна площади прямоугольника
аА1В1b
(рис. 2.6):
.
Отсюда
.
2.3. Вычисление определенного интеграла
2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
Пусть
.
Как было показано ранее, определенным
интегралом от функции f(x)
по отрезку
называется
,
(2.8)
причем
а называется
нижним
пределом интегрирования, b
– верхним пределом интегрирования.
Если
то величину определенного интеграла
естественно принять за площадь
криволинейной трапеции
(рис. 2.7).
Формула, найденная Ньютоном и Лейбницем (независимо друг от друга), устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами. Она позволяет эффективно вычислять определенные интегралы и является основной формулой интегрального исчисления.
Разобьем
отрезок
на n
частей (не
обязательно равных по длине). Абсциссы
границ полученных частей обозначим
через
:
.
Очевидно, справедливо равенство
(2.9)
Пусть
Тогда по теореме Лагранжа
и формуле (2.9) можно придать вид
(2.10)
Формула
(2.10) показывает, что при соответствующем
выборе точек
величина интегральной суммы при любом
n
постоянна
и равна
Поэтому при
получим формулу
,
которую называют формулой Ньютона − Лейбница.
Определённый интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Для
обозначения приращения функции
на отрезке
часто используют знак
двойной подстановки
Формулу Ньютона − Лейбница можно вывести и другим способом.
Рассмотрим определённый интеграл
.
Для
его существования необходимо, чтобы
функция
.
Очевидно, что интеграл зависит от
пределов интегрирования а
и b.
Если закрепить а, а верхнюю границу сделать переменной, то интеграл
будет представлять некоторую функцию от х. Вычислим производную этой функции по переменной х. Для этого найдем
.
Тогда
.
Применим теорему о среднем
.
Перейдем
к пределу при
,
так
как
при
.
Итак, мы доказали теорему Барроу.
Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе.
Эта теорема является одной из основных теорем математического анализа и вскрывает глубокую связь между операциями определенного интегрирования и дифференцирования.
Следствие.
Любая функция
f(x),
непрерывная на
,
имеет первообразную, выражаемую формулой
.
Исходя из геометрического смысла определённого интеграла как площади криволинейной трапеции, заметим, что соотношение
выражает
переменную площадь криволинейной
трапеции с основанием
.
Теорема Барроу позволяет установить простой метод вычисления определённого интеграла.
Мы
установили, что
является первообразной для f(x).
Первообразная имеет вид
.
Пусть х = а, тогда
.
Тогда
.
Подставим значение С
в определение первообразной
.
Пусть теперь х = b, тогда
.
Получили формулу Ньютона – Лейбница, которая устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами от непрерывной функции f(x).
Пример
1. Вычислить
.
Решение
.
Пример
2. Вычислить
.
Решение
.
Пример
3. Вычислить
.
Решение
.
Пример
4. Вычислить
.
Решение
Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей
.
Освободимся от знаменателя
т. е.
.
Сравним
коэффициенты при одинаковых степенях
:
Находим, что
.
Итак,
.
Пример
5. Вычислить
.
Решение
.
Пример
6. Вычислить
.
Решение
.
Пример
7. Вычислить
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой
при
Решение
(кв. ед.)
Пример
8. Оценить
интеграл
.
Решение
Так
как подынтегральная функция
монотонно возрастает на отрезке
,
то наибольшее и наименьшее значение
достигается на концах отрезка
.
Воспользовавшись свойством 8, получим
или
.
Пример
9. Найти
двустороннюю оценку интеграла
.
Решение
Для рассматриваемого интеграла
;
;
;
.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] исследуем функцию на экстремум:
,
,
или
,
,
.
Следовательно, на [a, b] функция f(x) экстремумов не имеет. Определяем значение функции на концах отрезка [a, b]:
,
.
Значит,
.
Воспользуемся свойством 8, получим