- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
Вопрос о сходимости несобственного интеграла в ряде случаев можно решить без его вычисления. Это особенно важно, когда первообразную через элементарные функции в конечном виде выразить невозможно. Рассмотрим простейшие теоремы относительно сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Теорема 1. Если и интеграл сходится, то сходится и интеграл Если при тех же предположениях интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Доказательство
Если существует, то представляет величину ограниченную и монотонно возрастающую. Так как , значит, и площадь, ограниченная этой кривой, меньше, чем площадь под кривой g(x) (рис. 3.5). Значит, существует и .
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Теорема 2. Если сходится интеграл то сходится и интеграл .
Не приводя доказательства этой теоремы, заметим, что в первом интеграле суммируются площади, лежащие над и под осью абсцисс, а во втором интеграле площади под осью абсцисс учитываются со знаком минус (рис. 3.6). Поэтому первый интеграл сходится «труднее»: он может расходиться в тех случаях, когда второй интеграл сходится.
Если интеграл сходится, то интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если интеграл сходится, а расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.
Теорема 3. Если и существует конечный ненулевой предел то интегралы , либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство этой теоремы не приводим.
Наиболее часто при выяснении вопроса о сходимости несобственного интеграла выполняют сравнение его с интегралом от степенной функции
(3.6)
который сходится при p > 1 и расходится при p
Действительно,
Пример 1. Определить, сходится ли интеграл
Решение
(см. (3.6)).
Следовательно, данный интеграл сходится, причем абсолютно.
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение
Сравним подынтегральную функцию с
.
По формуле (3.6) несобственный интеграл сходится . Таким образом, данный интеграл сходится.
Ответ: Интеграл сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость
.
Решение
Преобразуем подынтегральную функцию
.
Несобственный интеграл от функции сходится . Найдем
.
Используя теорему 3, получаем, что данный несобственный интеграл сходится.
Ответ: Интеграл сходится.
Теоремы, аналогично рассмотренным, справедливы и для несобственных интегралов от разрывных функций (сформулируйте их самостоятельно). При этом сравнение часто осуществляют с интегралами со степенной особенностью
и ,
которые сходятся при p < 1 и расходятся при p 1 (проверить самостоятельно).
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение
Подынтегральная функция является бесконечно большой при . Представим ее в виде
.
Найдем
,
т. е. предел конечен и не равен нулю. Значит, интегралы и ведут себя одинаково. Интеграл сходится, так как . Следовательно, и исходный интеграл тоже сходится.
Ответ: Интеграл сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение
Подынтегральная функция f(x) в промежутке интегрирования положительна и при . Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби:
при ,
тогда
.
Следовательно,
при .
Интеграл сходится, так как . Следовательно, и исходный интеграл тоже сходится.
Ответ: Интеграл сходится.