- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
1. неопределенный интеграл 5
1.2. Основные свойства неопределённого интеграла 7
1.3. Таблица основных интегралов 8
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой 10
1.5. Интегрирование по частям 15
1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 20
1.7. Интегрирование рациональных дробей 25
1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби 28
1.8. Интегрирование иррациональных функций 35
1.9. Интегрирование тригонометрических функций 44
1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции 54
2. Интеграл по мере области 56
2.1. Понятие интеграла по мере области 56
2.2. Основные свойства интеграла по мере области 60
2.3. Вычисление определенного интеграла 63
2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница 63
2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки 70
2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям 73
2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании 76
2.4.1. Формула прямоугольников 77
2.4.2. Формула трапеций 77
2.4.3. Формула парабол (Симпсона) 78
3. Несобственные интегралы 81
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 81
3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций 85
3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов 91
4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом 97
5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра 98
6. Понятие о гамма-функции 99
7. Вычисление кратных интегралов 101
7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 101
7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 108
7.3. Замена переменных в кратных интегралах 111
7.3.1. Общая формула замены переменных 111
7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 113
7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 115
7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат 118
8. Криволинейные интегралы 121
8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой 121
8.2. Криволинейные интегралы по координатам 126
8.2.1. Понятие о векторном поле 126
8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам 128
8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам 129
8.2.4. Формула Грина 132
8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования 133
9. Приложения кратных интегралов 136
9.1. Геометрические приложения кратных интегралов 136
9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения 143
9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением 143
9.2.2. Объём тела вращения 145
9.2.3. Площадь поверхности вращения 146
9.3. Механические приложения кратных интегралов 147
9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов 149
Предметный указатель 160
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 163
ОГЛАВЛЕНИЕ 165
Учебное издание