- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Задания для самостоятельного решения
-
Будет ли криволинейный интеграл
равен нулю по любому замкнутому контуру?
-
Используя формулу Грина, докажите, что площадь области D можно вычислить по одной из формул:
3. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L – контур треугольника с вершинами A(1; 1), B(2; 2), C(1; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки (ответ: ).
4. Выяснить, зависит ли интеграл от контура интегрирования (ответ: нет).
9. Приложения кратных интегралов
9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
I. Некоторые приложения кратных интегралов вытекают из свойств интеграла по мере области. Напомним 4-е свойство:
если f (P) 1, то , .
Конкретизируем это важное свойство:
-
– длина отрезка ;
-
– длина линии L;
-
– площадь области D;
-
– площадь поверхности Q;
-
– объём тела Т.
Используя это свойство и его конкретизацию, получим формулы для вычисления таких геометрических характеристик, как объём, площадь поверхности и плоской области, длина дуги кривой.
Рассмотрим формулу для вычисления объёма тела Т
.
Пусть тело Т является правильной областью в пространстве R3, которое ограничено «снизу» поверхностью , а «сверху» − (рис. 9.1). Найдем объём тела Т:
.
Рис. 9.1
Таким образом, формула
(9.1)
применяется для вычисления объёма с помощью двойного интеграла, когда область ограничена поверхностями и и проектируется в правильную область D на плоскости х0у.
Если в формуле (9.1) положить , а , то получим формулу
, (9.2)
которая объясняет геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции f(x,y) по области D выражает объём цилиндрического тела, ограниченного «сверху» поверхностью , «снизу» областью D и боковой цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0z, а направляющая является границей области D.
Если в формуле (9.2) положить , то получим интеграл, выражающий объём цилиндра с высотой, равной 1, и основанием D. Численно этот объём равен площади основания. Итак,
. (9.3)
Очевидно, такой же результат получим, если рассмотрим третий случай свойства 4:
.
Таким образом, формула для вычисления площади плоской фигуры D имеет вид (9.3).
Произведём интегрирование в (9.3) по области D, представленной на рис. 9.2:
. (9.4)
Это выражение можно рассматривать как формулу для вычисления площади плоской фигуры D, ограниченной соответствующими линиями.
Если в (9.4) положить , а , то получим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x), вертикальными прямыми х = а и х = b.
Замечание. При переходе к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам получим формулы для вычисления объемов и площадей в данных координатах.
Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры D с помощью двойного интеграла:
1) ;
2) .
Решение
1. Область интегрирования ограничена прямыми , , снизу осью Ox и сверху ветвью параболы (рис. 9.3). Тогда
(кв. ед.)
2. Преобразуем уравнения области D:
.
В этом случае удобно воспользоваться полярными координатами, переходя к которым получим
(рис. 9.4).
Тогда
(кв. ед.)
Пример 2. Вычислить объем пространственного тела V, ограниченного поверхностями
.
Решение
Тело V сверху ограничено плоскостью , снизу − . Проекцией тела на плоскость XOY служит прямоугольник, образованный прямыми , , и (рис. 9.5). Вычислим объем фигуры, воспользовавшись формулой (9.2):
(куб. ед.).
Пример 3. Вычислить объем пространственной области V, ограниченной данными поверхностями
.
Решение
Область V ограничена тетраэдром, расположенным в первом октанте. Проекцией тела на плоскость XOY служит треугольник, образованный прямыми , , (рис. 9.6).
Следовательно,
(куб. ед.)
II. Криволинейный интеграл I рода даёт возможность получить формулы для вычисления длины дуги кривой. Их мы уже получали ранее:
– для плоской кривой, заданной уравнением ,
;
– для пространственной кривой, заданной уравнениями
;
– для плоской кривой, заданной в полярных координатах,
.
Пример 4. Найти длину первого витка винтовой линии (рис. 9.7).
Решение
III. Рассмотрим формулу 4-го случая:
− это интеграл по площади поверхности. Рассмотрим метод его вычисления.
Пусть задана поверхность Q: (рис. 9.8), dq – элемент площади поверхности, − нормальный вектор к поверхности Q в точке М.
Рис. 9.8
Если через обозначить угол между нормалью и осью , то
, где . (9.5)
За вектор можно принять вектор , где F(x, y, z) − уравнение поверхности уровня, которая в нашем случае и есть поверхность Q. Её уравнение в неявном виде
.
Итак,
.
Подставляя выражение в (9.5), получим
.
Вычислить интеграл по площади поверхности можно и с помощью двойного интеграла
.
Теперь нетрудно записать формулу для вычисления площади поверхности
.
Пример 5. Найти площадь части поверхности конуса вырезанной цилиндром (рис. 9.9).
Решение
Поверхность ограничена сверху конусом , а область D представляет собой окружность . Тогда
Так как область D есть круг радиуса a, то и площадь поверхности (кв. ед.)