- •1. Понятие множества.
- •2. Способы представления множеств.
- •3. Операции над множествами.
- •4. Разбиения и покрытия.
- •5. Свойства операций над множествами. Доказательства.
- •6. Универсальное множество. Булеан.
- •7. Представление множеств в эвм.
- •8. Реализация операций над подмножествами заданного универсума.
- •9. Генерация всех подмножеств универсума. Алгоритм генерации всех подмножеств данного множества.
- •10. Алгоритм построения бинарного кода Грея.
- •11. Представление множеств упорядоченными списками.
- •12. Алгоритм проверки включения.
- •13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
- •14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
- •15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
- •16. Отношения. Композиция отношений.
- •17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
- •18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
- •20. Отношение преобладания (доминирования).
- •21. Симметричное отношение. Композиция отношений.
- •22. Функциональное отношение.
- •23. Типы отображений (инъекция, биекция, сюръекция).
- •24. Способы задания функций.
- •25. Функции алгебры логики.
- •26. Задание функций алгебры логики.
- •27. Существенная и несущественная переменные.
- •28. Примеры логических функций.
- •29. Представление булевых функций формулами.
- •30. Представление булевых функций формулами. Примеры.
- •31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.
- •32. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •33. Эквивалентные преобразования. Доказательство.
- •34. Правила подстановки, замены.
- •35. Некоторые эквивалентные преобразования.
- •36. Приведение дизъюнктивной нормальной формы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
- •37. Замкнутые классы. Свойства замыкания.
- •38. Класс функций, сохраняющих значение 0.
- •39. Класс функций, сохраняющих значение 1.
- •40. Принцип двойственности. Класс самодвойственных функций.
- •41. Класс монотонных функций.
- •42. Класс линейных функций.
- •43. Алгебра Жегалкина. Полином Жегалкина.
- •44. Полином Жегалкина. Теорема.
- •45. Полнота.
- •46. Лемма о немонотонных функциях.
- •47. Лемма о нелинейных функциях.
- •48. Функциональная полнота. Первая теорема о функциональной полноте.
- •49. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •50. Логические исчисления.
- •51. Высказывания. Формулы.
- •52. Интерпретация формулы. Теорема.
- •53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
- •54. Логические эквивалентности. Доказательство.
- •55. Исчисление высказываний.
- •56. Понятие предиката.
- •57. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности.
- •58. Исчисление предикатов.
- •59. Аксиомы исчисления предикатов. Правила логического вывода.
- •60. Графы. Типы задач теории графов.
- •61. Графы. Основные определения.
- •62. Способы представления графов.
- •63. Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •64. Обходы графов.
- •65. Степени вершин графа.
- •66. Операции с частями графа.
- •67. Маршруты, цепи, циклы.
- •68. Связные компоненты графа.
- •69. Расстояния в графе.
- •70. Диаметр, радиус, центр графа.
- •71. Произведение графов.
- •72. Прямое произведение графов.
- •73. Эйлеровы циклы.
- •74. Теорема Эйлера.
- •75. Эйлеровы цепи.
- •76. Гамильтоновы циклы.
- •77. Некоторые классы графов и их частей. Дерево и лес.
- •78. Концевые вершины и ребра.
- •82. Цикломатическое число графа.
- •83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
- •86.Деревья
- •49.Функциональная полнота. Теорема Поста
- •94. Блок-схемы алгоритмов
- •95.Машины Тьюринга. Основные определения.Машина
- •96.Машины Тьюринга.Сложение
- •96.Машины Тьюринга.Копирование
- •80.Типы вершин
- •84.Начальные и конечные вершины. Ранги вершин
- •90. Бінарне дерево
- •79. Дерево с корнем. Ветви.
- •81. Центры деревьев. Теорема.
- •85. Отношение достижимости. Базисный граф
- •88.Способы представления деревьев
17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
Пусть a и b – любые элементы множества А. Отношение R оюладает следующими свойствами:
1. Рефлексивность aA aRa - истина
2. Антирефлексивность aA ¬aRa - истина
3. Симметричность a,bA aRbbRa
4. Антисимметричность a,bA aRb и bRaa=b
5. Транзитивность a,b,cA aRb и bRcaRc
6. Полнота a,bA ab aRb и bRa
18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
Отношения различны по своей природе и могут обладать теми или иными свойствами
Рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение называется отношением эквивалентности. Обозначается .
Примером явл. подобие фигур, одинаковый остаток в результате деления.
Для того, чтобы сформулировать термин «отношение эквивалентности», рассмотрим 3 условия. Только выполнение этих 3 условий свидетельствует о наличии этого отношения.
Условия выполнения эквивалентности:
1) каждый элемент эквивалентен сам себе; а=а
2) утверждение, что 2 элемента эквиваленты, не требует уточнения какой из элементов рассматривается первым, а какой вторым (свойство симметричности) a=b, b=a
3) два элемента эквивалентны третьему, эквивалентны между собой (свойство транзитивности) a=b, b=ca=c
Отношение эквивалентности связано с понятием разбиение множества.
Пусть Х – множество, для которого определено отношение эквивалентности
Подмножеством элементов эквивалентных любому х Х будем называть классом эквивалентности.
Очевидно, что все элементы одного класса эквивалентности, эквиваленты между собой.
Всякий элемент х Х может находится только в одном классе эквивалентности.
19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
Отношение порядка позволяет сравнивать между собой элементы одного множества.
Во всех этих случаях на множестве Х можно ввести отношение порядка и расположить элементы множества в соотв. порядке.
Антисимметричное, транзитивное отношение называется отношением порядка . Отношение может быть и рефлексивным, тогда оно называется отношением нестрогого порядка.
- нестрогий порядок
Отношение может быть антирефлексивным(тогда оно отношение строго порядка)
- отношение порядка
Отношение нестрого порядка обладает след. свойствами:
1) рефлексивность хх – истина
2) антисимметричность ху and ух, если х=у
3) транзитивность ху, yz, xz
Отношение строгого порядка обладает след. свойствами:
1) антирефлексивность хх – ложь
2) антисимметричность хy and yx
3) транзитивность ху, yz, x z
Множество Х называется упорядоченным, если для двух его элементов устанавливается отношение порядка ху, х=у, ух
20. Отношение преобладания (доминирования).
На множестве Х определено отношение доминирования, если элементы множества обладают следующими свойствами: 1) каждый индивидуум не может доминировать над самим собой (антирефлексивность) ху - ложь
2) для любой пары элементов только один доминирует над другим (антисимметричность) ху and ух – ложь
3) отношение доминирования не обладает свойством транзитивности