- •1. Понятие множества.
- •2. Способы представления множеств.
- •3. Операции над множествами.
- •4. Разбиения и покрытия.
- •5. Свойства операций над множествами. Доказательства.
- •6. Универсальное множество. Булеан.
- •7. Представление множеств в эвм.
- •8. Реализация операций над подмножествами заданного универсума.
- •9. Генерация всех подмножеств универсума. Алгоритм генерации всех подмножеств данного множества.
- •10. Алгоритм построения бинарного кода Грея.
- •11. Представление множеств упорядоченными списками.
- •12. Алгоритм проверки включения.
- •13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
- •14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
- •15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
- •16. Отношения. Композиция отношений.
- •17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
- •18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
- •20. Отношение преобладания (доминирования).
- •21. Симметричное отношение. Композиция отношений.
- •22. Функциональное отношение.
- •23. Типы отображений (инъекция, биекция, сюръекция).
- •24. Способы задания функций.
- •25. Функции алгебры логики.
- •26. Задание функций алгебры логики.
- •27. Существенная и несущественная переменные.
- •28. Примеры логических функций.
- •29. Представление булевых функций формулами.
- •30. Представление булевых функций формулами. Примеры.
- •31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.
- •32. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •33. Эквивалентные преобразования. Доказательство.
- •34. Правила подстановки, замены.
- •35. Некоторые эквивалентные преобразования.
- •36. Приведение дизъюнктивной нормальной формы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
- •37. Замкнутые классы. Свойства замыкания.
- •38. Класс функций, сохраняющих значение 0.
- •39. Класс функций, сохраняющих значение 1.
- •40. Принцип двойственности. Класс самодвойственных функций.
- •41. Класс монотонных функций.
- •42. Класс линейных функций.
- •43. Алгебра Жегалкина. Полином Жегалкина.
- •44. Полином Жегалкина. Теорема.
- •45. Полнота.
- •46. Лемма о немонотонных функциях.
- •47. Лемма о нелинейных функциях.
- •48. Функциональная полнота. Первая теорема о функциональной полноте.
- •49. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •50. Логические исчисления.
- •51. Высказывания. Формулы.
- •52. Интерпретация формулы. Теорема.
- •53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
- •54. Логические эквивалентности. Доказательство.
- •55. Исчисление высказываний.
- •56. Понятие предиката.
- •57. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности.
- •58. Исчисление предикатов.
- •59. Аксиомы исчисления предикатов. Правила логического вывода.
- •60. Графы. Типы задач теории графов.
- •61. Графы. Основные определения.
- •62. Способы представления графов.
- •63. Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •64. Обходы графов.
- •65. Степени вершин графа.
- •66. Операции с частями графа.
- •67. Маршруты, цепи, циклы.
- •68. Связные компоненты графа.
- •69. Расстояния в графе.
- •70. Диаметр, радиус, центр графа.
- •71. Произведение графов.
- •72. Прямое произведение графов.
- •73. Эйлеровы циклы.
- •74. Теорема Эйлера.
- •75. Эйлеровы цепи.
- •76. Гамильтоновы циклы.
- •77. Некоторые классы графов и их частей. Дерево и лес.
- •78. Концевые вершины и ребра.
- •82. Цикломатическое число графа.
- •83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
- •86.Деревья
- •49.Функциональная полнота. Теорема Поста
- •94. Блок-схемы алгоритмов
- •95.Машины Тьюринга. Основные определения.Машина
- •96.Машины Тьюринга.Сложение
- •96.Машины Тьюринга.Копирование
- •80.Типы вершин
- •84.Начальные и конечные вершины. Ранги вершин
- •90. Бінарне дерево
- •79. Дерево с корнем. Ветви.
- •81. Центры деревьев. Теорема.
- •85. Отношение достижимости. Базисный граф
- •88.Способы представления деревьев
12. Алгоритм проверки включения.
Вход: А и В – представлены упорядоченные списки
Выход: 1, если АВ, иначе 0.
while panil and pbnil do
if pa.i<pb.i then
return 0
else if pa.i>pb.i then
pb:=pb.n
else pa:=pa.n
pb:=pb.n
endif
endwhile
return pa=nil.
//pa.i=элемент списка
pa.n=ссылка
13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
Вход: А и В – представлены упорядоченными списками
Выход: С=А В.
pa:=a, pb:=b, c=nil, e=nil.
while pa=nil and pbnil do
if pa.i<pb.i then
d:=pa.i, pa:=pa.n
else if pa.i>pb.i then
d=pb.i, pb:=pb.n
else
d:=pa.i
pa:=pa.n,pb=pb.n
end if
Append(c,e,d)//процедура добавления
end while
p:=nil
if pa nil then
p:=pa
end if
if pb nil then
p:=pb
end if
while p nil do
Append(c,e,p.i)
p:=p.n
endwhile.
На каждом шаге основного цикла происходит добавление элемента одного из множеств в результирующее множество.
Процедура Append добавляет элемент d в конец списка с.
Append(c,e,d)
Вход: указатель С на первый элемент списка
Выход: список
q=new(elem)
q.i=d, q.n=nil
if c=nil then
c:=q
else e.n=q
end if
e:=q.
14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
Вход: А и В – представлены упорядоченными списками
Выход: С=АВ
pa:=a, pb:=b, c:=nil, e:=nil
while panil and pbnil do
if pa.i<pb.i tne
pa:=pa.n
else if pa.i>pb.i then
pb:=pb.n
else Append (c,e,pa.i);
pa:=pa.n, pb:=pb.n
end if
end while.
Append(c,e,d)
Вход: указатель С на первый элемент списка
Выход: список
q=new(elem)
q.i=d, q.n=nil
if c=nil then
c:=q
else e.n=q
end if
e:=q.
15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
Кортежем называется последовательность или совокупность элементов, в которых каждый элемент занимает строго определенное место.
Элементы последовательности называются компонентами кортежа, а множество таких кортежей называется упорядоченное множество.
Число элемента кортежа – длина кортежа.
а= (а1,а2,а3,…аn)
Место каждого элемента в кортеже строго определено и не может быть произвоьно изменено.
Пустой кортеж задается условием: кортеж а = кортежу b, если элементы одного кортежа соответственно должны равняться другому кортежу.
а=ba1=b1, a2=b2… an=bn
а= {а1,а2,а3,…аn}
b= {b1,b2,b3…bn}
Прямое произведение множеств
Пусть а и b - два множества,
прямым произведением(декартовым произведением) 2 множеств а и b называется множество упорядоченных пар, принадлежащих множеству А, второй – множеству В.
АВ={(a,b)aA, bB}
X:{1,2}
Y:{3,4}
XY={(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
Метод координат ввел Рене Декарт. отсюда и возникло название декартовое произведение.
Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя
Аn=AAA…A(n-раз)
16. Отношения. Композиция отношений.
Элементы множеств могут находиться в некоторых отношениях друг с другом и с элементами других множеств.
Отношения между парами объектов называется бинарными отношениями.
аА АВ
В общем виде отношение можно записать след. образом: хАу, где х, у – элементы, которые находятся в отношении. А – отношение.
Бинарным отношением R из множества А в множество В называется подмножество прямого произведения множества А и В.
R AB
Для бинарных отношений обычно используется инфиксная запись, когда отношение расположено между операндами: aRb:={(a,b)RAB, aA, bB}
Префиксная запись: R(a,b)
Постфиксная запись: (a,b)R
Если А=В, то говорят, что R – это отношения на множестве А.
Обратным отношением называется отношение: R-1:={ (a,b)(b,a) R}
Дополнением к отношению: :={(a,b) (a,b)R}
Тождественное отношение: I:= {(a,a) aA}
Универсальное отношение: U:={(a,b) aA, bB }
Обобщенное понятие «отношение» - это n-местное отношение R, которое состоит из кортежей, у которых a1A1 a2A2… anAn
RA1A2…An={a1,a2…an a1A1 a2A2… anAn }
Композиция отношений задается след. образом:
пусть R1AB, R2BC
Композицией R1 и R2 называется отношение R AС
R:={(a,c) aA, cC и bB, aRb и bRc}
Степенью отношения на множестве А называется его композиция с самим собой n-раз. Rn=RR...R(n-раз)