- •1. Понятие множества.
- •2. Способы представления множеств.
- •3. Операции над множествами.
- •4. Разбиения и покрытия.
- •5. Свойства операций над множествами. Доказательства.
- •6. Универсальное множество. Булеан.
- •7. Представление множеств в эвм.
- •8. Реализация операций над подмножествами заданного универсума.
- •9. Генерация всех подмножеств универсума. Алгоритм генерации всех подмножеств данного множества.
- •10. Алгоритм построения бинарного кода Грея.
- •11. Представление множеств упорядоченными списками.
- •12. Алгоритм проверки включения.
- •13. Алгоритм вычисления объединения множеств.
- •14. Алгоритм вычисления пересечения множеств.
- •15. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств.
- •16. Отношения. Композиция отношений.
- •17. Свойства отношений. Доказательство. Представление отношений в эвм.
- •18. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •19. Отношение порядка. Минимальный элемент.
- •20. Отношение преобладания (доминирования).
- •21. Симметричное отношение. Композиция отношений.
- •22. Функциональное отношение.
- •23. Типы отображений (инъекция, биекция, сюръекция).
- •24. Способы задания функций.
- •25. Функции алгебры логики.
- •26. Задание функций алгебры логики.
- •27. Существенная и несущественная переменные.
- •28. Примеры логических функций.
- •29. Представление булевых функций формулами.
- •30. Представление булевых функций формулами. Примеры.
- •31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.
- •32. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
- •33. Эквивалентные преобразования. Доказательство.
- •34. Правила подстановки, замены.
- •35. Некоторые эквивалентные преобразования.
- •36. Приведение дизъюнктивной нормальной формы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
- •37. Замкнутые классы. Свойства замыкания.
- •38. Класс функций, сохраняющих значение 0.
- •39. Класс функций, сохраняющих значение 1.
- •40. Принцип двойственности. Класс самодвойственных функций.
- •41. Класс монотонных функций.
- •42. Класс линейных функций.
- •43. Алгебра Жегалкина. Полином Жегалкина.
- •44. Полином Жегалкина. Теорема.
- •45. Полнота.
- •46. Лемма о немонотонных функциях.
- •47. Лемма о нелинейных функциях.
- •48. Функциональная полнота. Первая теорема о функциональной полноте.
- •49. Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •50. Логические исчисления.
- •51. Высказывания. Формулы.
- •52. Интерпретация формулы. Теорема.
- •53. Логическое следование и логическая эквивалентность.
- •54. Логические эквивалентности. Доказательство.
- •55. Исчисление высказываний.
- •56. Понятие предиката.
- •57. Понятие квантора. Квантор существования. Квантор всеобщности.
- •58. Исчисление предикатов.
- •59. Аксиомы исчисления предикатов. Правила логического вывода.
- •60. Графы. Типы задач теории графов.
- •61. Графы. Основные определения.
- •62. Способы представления графов.
- •63. Идентификация графов, заданных своими представлениями.
- •64. Обходы графов.
- •65. Степени вершин графа.
- •66. Операции с частями графа.
- •67. Маршруты, цепи, циклы.
- •68. Связные компоненты графа.
- •69. Расстояния в графе.
- •70. Диаметр, радиус, центр графа.
- •71. Произведение графов.
- •72. Прямое произведение графов.
- •73. Эйлеровы циклы.
- •74. Теорема Эйлера.
- •75. Эйлеровы цепи.
- •76. Гамильтоновы циклы.
- •77. Некоторые классы графов и их частей. Дерево и лес.
- •78. Концевые вершины и ребра.
- •82. Цикломатическое число графа.
- •83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
- •86.Деревья
- •49.Функциональная полнота. Теорема Поста
- •94. Блок-схемы алгоритмов
- •95.Машины Тьюринга. Основные определения.Машина
- •96.Машины Тьюринга.Сложение
- •96.Машины Тьюринга.Копирование
- •80.Типы вершин
- •84.Начальные и конечные вершины. Ранги вершин
- •90. Бінарне дерево
- •79. Дерево с корнем. Ветви.
- •81. Центры деревьев. Теорема.
- •85. Отношение достижимости. Базисный граф
- •88.Способы представления деревьев
78. Концевые вершины и ребра.
Вершина v графа G называется концевой, или висячей, если ее степень равна 1. Инцидентное этой вершине ребро называется концевым. Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро. Действительно, пусть v – вершина дерева G. Т.к. она связана с другими вершинами, из нее выходит хотя бы одно ребро. Если другой конец v этого ребра не является концевой вершиной, из него выходит еще одно ребро. Из другого его конца v выходит еще одно ребро и тд. Таким образом, строится цепь, проходящая все время через новые вершины. Иначе часть этой цепи оказалась бы циклом. Т.к. наше дерево конечно, процесс построения этой цепи должен закончиться, причем последнее ее ребро и одна из инцидентных ей вершин являются концевыми.
Если v – концевая вершина, она является и второй концевой вершиной дерева. Если же вершина v – не концевая, из нее выходит еще хотя бы одно ребро. Начиная с него, можно построить цепь, идущую из v в другую сторону, и в конце ее найти другую концевую вершину.
82. Цикломатическое число графа.
Пусть G — конечный неориентированный граф. Его цикломатическим числом называется
,
где с — число связных компонент графа; — число его ребер, а — число вершин. Цикломатическое число дерева равно нулю, цикломатическое число леса — сумме цикло-матических чисел своих связных компонент-деревьев, т. е. также равно нулю. Цикломатические числа остальных конечных графов положительны. Так как цикломатическое число несвязного графа равно сумме цикломатических чисел связных компонент, достаточно рассмотреть связный граф О.
Если этот граф — дерево, его цикломатическое число равно нулю. В противном случае в графе G есть цикл
. Можно выбросить любое ребро этого цикла, и граф останется связным. Действительно, пусть
— маршрут, связывающий вершины и содержащий выброшенное ребро eq цикла Z (если маршрут не содержит такого ребра, он связывает вершины и и в новом графе ). Это ребро можно заменить маршрутом , имеющим те же концы, что и само ребро.
Если в еще имеются циклы, можно выбросить следующее ребро, не нарушая связности, и т. д. В конце концов получится неориентированный связный граф без циклов, т. е. дерево (так как число вершин всех конструируемых графов не меняется, если оно больше единицы, то все ребра выбросить нельзя). Число оставшихся ребер на единицу меньше числа вершин графа , а значит, и исходного графа G, но в последнем на ребер больше. Следовательно,
>0.
83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.
Орграфом G наз. пара мн-в (N,U), элементы N – вершины, элементы U – упорядоченые пары вершин наз. дугами (i,j)(j,i). Вершины (i,j) наз. смежными, если в G имеется дуга (i,j). При этом дугу (i,j) наз. инцедентной вершинам i и j. Вершину i наз. началом дуги, j – концом дуги. Две дуги, имеющие общую вершину наз. смежными. Понятие паралельных дуг как и у графов.
Орграф наз. простым, если он не имеет паралельных дуг. Будем предполагать, что мы работаем с простым огрграфом.
Полустепень захода d-(i) – это число дуг, выходящих из i. ni=1d-(i)= ni=1d+(i)=m (m – число дуг).
Орграф наз. полным, если (i,j) существуют дуги (i,j) и (j,i).
Понятия порождённого, остовного подграфа и просто подграфа аналогичны соотв. понятиям для графов. Последовательность вершин i1, i2,…, im наз. маршрутом, если (ip,ip+1), (ip,ip+1)U.
Последовательность вершин, такая, что две соседние вершины в этой посл. смежные, наз. полумаршрутом. Понятие замкнутого маршрута аналогично известному.
Маршрут у к-го все дуги различны наз. путём. Полумаршрут, у к-го все дуги различны наз. полупутём. Замкнутый наз. контуром, полупуть – полуконтуром. Понятие простых путей и т.д. аналогичны известным.
Граф D=(N,W) лежит в основе орграфа G, если любые две вершины D смежны тогда и только тогда (неравные вершины), когда они смежны в G.
Способы задания орграфов.
Ориентированый граф можно задать списком дуг, матрицами смежности: aij={1,(i,j)U;0(i,j)U}, матрицей инцедентности (предполагается, что дуги перенымерованы: 1,…,m):{1,если из i выжодит дуга в j; -1,если из j в i; 1,петля; 0, иначе}.
Два графа наз. изоморфными, если взаимо-однозн. соответсвие между их вершинами, сохраняющее смежность и ориентацию. Изоморфным ориентированым графам соотв. матрицы смежности, такие что одну из них можно пулучить одинаковым упорядочением строк и столбцов.