Задание 7.

В задаче об оптимальном планировании перевозок A_i – пункты отправления; a_i – запасы в пунктах отправления; B_j – пункты назначения; b_j – заявки пунктов назначения.

	В1	В2	В3	В4	В5	ai
А1	3	3	4	4	5	350
А2	4	5	6	2	6	370
А3	4	4	5	5	6	390
А4	2	2	5	3	4	430
А5	4	2	5	6	6	400
bj	340	380	420	410	390

Задачи, которые необходимо решить в данном задании.

1. Определить начальный план транспортной задачи методом северо-западного угла;

2. Определить начальный план транспортной задачи методом минимального элемента;

3. Найти оптимальный план транспортной задачи методом потенциалов и стоимость перевозки по этому плану.

Решение.

Проверим необходимое и достаточное условие решения задачи.

Σa_i = 350 + 370 + 390 + 430 + 400= 1940

Σb_j = 340 + 380 + 420 + 410 + 390 = 1940

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения не превышает запасы груза на базах. Итак, модель исходной транспортной задачи является закрытой.

1. Определение начального плана транспортной задачи методом северо-западного угла;

	В1	В2	В3	В4	В5	ai
А1	3 (340)	3 (10)	4	4	5	350
А2	4	5 (370)	6	2	6	370
А3	4	4	5 (390)	5	6	390
А4	2	2	5 (30)	3 (400)	4	430
А5	4	2	5	6 (10)	6 (390)	400
bj	340	380	420	410	390

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность в заявках пунктов назначения удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n-1 = 9. Итак, опорный план является вырожденным.

Значение целевой функции для начального плана:

F (X) = 3*340 + 3*10 + 5*370 + 5*390 + 5*30 + 3*400 + 6*10 + 6*390 = 8600;

2. Определение начального плана транспортной задачи методом минимального элемента;

	В1	В2	В3	В4	В5	ai
А1	3	3	4 (310)	4 (40)	5	350
А2	4	5	6	2 (370)	6	370
А3	4	4	5	5	6 (390)	390
А4	2 (340)	2 (90)	5	5	5	430
А5	4	2 (290)	5 (110)	6	6	400
bj	340	380	420	410	390

Значение целевой функции для данного начального плана (стоимость перевозок по этому плану составляет):

F (X) = 2*340 + 2*90 + 2*290 + 4*310 + 5*110 +4*40 + 2*370 + 6* 390 = 6470;

Стоимость перевозок, полученных по методу минимального элемента, обычно бывает меньше стоимости перевозок, полученных по методу "северо-западного" угла.

3. Найти оптимальный план транспортной задачи методом потенциалов и стоимость перевозки по этому плану.

Так как начальный план транспортной задачи, полученный методом минимального элемента, дает меньшую стоимость перевозок, то решаем задачу по этому плану.

Теперь проверим его на оптимальность методом потенциалов, который заключается в последовательном улучшении опорных планов транспортной задачи на основе информации, полученной с помощью чисел, называемых потенциалы поставщиков u_i, и потребителей v_j (u_i, v_j. - двойственные переменные, то есть переменные задачи, двойственной к транспортной). Потенциалы находим из условия u_i + v_j c_ij, где cij - тарифы заполненных клеток, полагая, что u₁ = 0,

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4; u₅ + v₃ = 5; u₅ + 4 = 5; u₅ = 1;

u₅ + v₂ = 2; 1 + v₂ = 2; v₂ = 1; u₄ + v₂ = 2; u₄ + 1 = 2; u₄ = 1;

u₄ + v₁ = 2; 1 + v₁ = 2; v₁ = 1; u₁ + v₄ = 4; 0 + v₄ = 4; v₄ = 4;

u₂ + v₄ = 2; u₂ + 4 = 2; u₂ = -2; u₃ + v₅ = 6; 1 + v₅ = 6; v₅ = 5;

	v1 = 1	v2 = 1	v3 = 4	v4 = 4	v5 = 5
u1 =0	3	3	4 (310)	4 (40)	5
u2 =-2	4	5	6	2 (370)	6
u3 = 1	4	4	5	5	6 (390)
u4 = 1	2 (340)	2 (90)	5	5	5
u5 = 1	4	2 (290)	5 (110)	6	6

Все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j c_ij,

Выбранный опорный план оптимальный.

Минимальные затраты на перевозку составят 6470.