Задание 5.

Дана задача линейного программирования, в которой

max f = 2x₁ + 5x₂

x₁ ; x₂ 0;

Задачи, поставленные в данном задании:

1. Записать задачу в канонической и стандартной формах;

2. Записать каноническую и стандартную задачи в матричном виде;

3. Решить задачу линейного программирования геометрически;

4. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом;

5. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

Решение:

1. Запись ЗЛП в канонической форме:

Для приведения задачи к канонической форме, где все ограничения имеют вид равенств, вводят дополнительные переменные x_n+1, x_n+2,…,x_n+p , которые тоже считаются неотрицательными и записывают исходную задачу в виде

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+0*x_n+1+0*x_n+2+…+0*x_n+p => min

Введем дополнительные переменные x₃, x₄, x₅. Переводя мах в min, запишем задачу в виде:

-2*x₁ – 5*x₂ + 0*x₃ +0*x₄ +0*x₅ => min;

;

;

;

x₁>0, x₂>0, x₃>0, x₄>0, x₅>0;

Запись ЗЛП в стандартной форме:

Если целевая функция в задаче линейного программирования задана в виде:

c₁x₁ + c₂x₂ +…+c_nx_n =>max

то, умножая её на (- 1), приведем её к виду:

(-c₁)x1 +(- c₂ )x₂ +…+(-c_n )x_n =>min

Таким образом, получаем:

min f = - 2x₁ - 5x₂

x₁ ; x₂ 0;

2. Запись канонической задачи в матричном виде:

Найти минимальное значение функции f(x) = CX, при условиях ,

где C = (-2; -5; 0; 0; 0) – вектор – строка коэффициентов при переменных.

X = (x₁, x₂, x₃, x_4, x₅ ), Х ≥ 0

A = (a_ij)_m*n – матрица размерности m*n, столбцами которой являются вектор-столбцы A_j.

A = ;B = ;

Запись стандартной задачи в матричном виде:

Найти максимальное значение функции f(x) = CX,

при условиях AX ≤ B ,

где C = (-2; -5), X = (x₁, x₂), Х≥0,

A = ; B =;

3. Решение ЗЛП графическим методом.

max f = 2x₁ + 5x₂

Построим ОДР, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

_{Так как xi0, то рассмотрим только первую координатную четверть.}

Определяем полуплоскости, задаваемые неравенствами. Для этого в неравенства подставляем координаты любой точки, не лежащей на соответствующей прямой. Если неравенство верное, то штрихуем в сторону выбранной точки. В результате построений получаем многоугольник B₀EIB₄(рис. 1).

Построим прямую, отвечающую значению функции f = 0.

2x₁ + 5x₂= 0

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации f(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 5).

Будем двигать эту прямую(перпендикулярную к вектору – градиенту), параллельным образом. Так как ищется максимальное значение целевой функции f(x), поэтому двигаем прямую до последнего касания области B₀EIB₄.

Максимального значения целевая функция достигает в точке I. Точка I получена, в результате пересечения прямых (2) и (3), находим ее координаты, решая систему уравнений:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4, x₂= 5

Можно найти максимальное значение целевой функции:

f_max(x) = 2*4 + 5*5 = 33

4. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).

Определим максимальное значение целевой функции

f(x) = 2x₁ + 5x₂

при следующих условиях-ограничений.

Перейдем к канонической форме записи ЗЛП и составим матрицу коэффициентов.

Матрица коэффициентов A = a(ij) имеет вид:

A =

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

x₁= (0,0,8,4,5)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	8	1	-2	1	0	0
x4	4	1	0	0	1	0
x5	5	0	1	0	0	1
f(x0)	0	-2	-5	0	0	0

Алгоритм симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:

min (- , - , 5 / 1) = 5

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x3	8	1	-2	1	0	0	-
x4	4	1	0	0	1	0	-
x5	5	0	1	0	0	1	5
f(x1)	0	-2	-5	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₅ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂. плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂. и столбец x₂..

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5
8-(5 • -2)/1	1-(0 • -2)/1	-2-(1 • -2)/1	1-(0 • -2)/1	0-(0 • -2)/1	0-(1 • -2)/1
4-(5 • 0)/1	1-(0 • 0)/1	0-(1 • 0)/1	0-(0 • 0)/1	1-(0 • 0)/1	0-(1 • 0)/1
5 / 1	0 / 1	1 / 1	0 / 1	0 / 1	1 / 1
0-(5 • -5)/1	-2-(0 • -5)/1	-5-(1 • -5)/1	0-(0 • -5)/1	0-(0 • -5)/1	0-(1 • -5)/1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x2	18	1	0	1	0	2
x4	4	1	0	0	1	0
x5	5	0	1	0	0	1
F(X1)	25	-2	0	0	0	5

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее:

min (18 / 1 , 4 / 1 , - ) = 4

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x2	18	1	0	1	0	2	18
x4	4	1	0	0	1	0	4
x5	5	0	1	0	0	1	-
f(x2)	25	-2	0	0	0	5	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₁

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x₁ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x2	14	0	0	1	-1	2
x4	4	1	0	0	1	0
x1	5	0	1	0	0	1
f(x2)	33	0	0	0	2	5

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x2	14	0	0	1	-1	2
x4	4	1	0	0	1	0
x1	5	0	1	0	0	1
f(x3)	33	0	0	0	2	5

Ответ:

Оптимальное значение функции

f_max(x)= 2•4 + 5•5 = 33 достигается в точке с координатами:

x₁ = 4, x₂ = 5 x₃ = 14 x₄ = 0 x₅ = 0

5. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

Рассмотрим задачу в стандартной форме:

max f = 2x₁ + 5x₂

x₁ 0; x₂ 0 ;

До множим уравнение (1)на (-1)

Так как исходная задача была на максимум, двойственная задача будет на

минимум, причем коэффициенты при переменных в целевой функции

соответствуют правым частям ограничений, число переменных равно числу

ограничений исходной задачи и равно трем.

min f^* = 8*y₁ + 4*y₂ + 5*y₃

Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в ограничениях.

A = ;A^T =

Так как все переменные были неотрицательны, все ограничения будут иметь знаки . Правые части ограничений – это коэффициенты при переменных в исходной

целевой функции.

y₁ 0; y₂ 0; y₃ 0;

Решение двойственной задачи найдем с помощью теорем двойственности.

По первой теореме двойственности:

Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. F_max = F^*_min

max f = min f^* = 33

Используем вторую теорему двойственности: так как в оптимальном решении исходной задачи x₁ ≠0 и x₂ ≠0, то на оптимальном решении двойственной задачи первое и второе ограничения двойственной задачи выполняется как равенство. Подставим x_опт в ограничения исходной задачи, получим, что первое ограничение выполняется как строгое неравенство, значит y₁ = 0. Получаем систему:

; ;

Решение двойственной задачи: y_опт =(0; 2; 5), min f^* = 33