Задание 6.

Дана задача линейного программирования,

max f = 3x₁ - 6x₂ + 2x₃

в которой x₁, x₂, x₃  0

Задачи, которые необходимо решить в данном задании.

1. Записать задачу в канонической и стандартной формах;

2. Записать каноническую и стандартную задачи в матричном виде;

3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом;

4. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

Решение:

1. Записать задачу в канонической и стандартной формах;

Каноническая форма ЗЛП:

Для приведения задачи к канонической форме, где все ограничения имеют вид равенств, вводят дополнительные переменные x_n+1, x_n+2,…,x_n+p , которые тоже считаются неотрицательными и записывают исходную задачу в виде

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+0*x_n+1+0*x_n+2+…+0*x_n+p => min

Введем дополнительные переменные x₃, x₄, x₅. Переводя мах в min, запишем задачу в виде:

3*x₁ – 6*x₂ + 2*x₃ + 0*x₄ + 0*x₅ + 0*x₆ =>min

x_i =

Стандартная форма ЗЛП:

Если целевая функция в задаче линейного программирования задана в виде:

c₁x₁ + c₂x₂ +…+c_nx_n =>max

то, умножая её на (- 1), приведем её к виду:

(-c₁)x1 +(- c₂ )x₂ +…+(-c_n )x_n =>min

Таким образом, получаем:

min f = -3x₁ + 6x₂ - 2x₃

2. Записать каноническую и стандартную задачи в матричном виде;

Запись канонической задачи в матричном виде:

Найти минимальное значение функции f(x) = CX, при условиях ,

где C = (3; -6; 2; 0; 0; 0) – вектор – строка коэффициентов при переменных.

X = (x₁, x₂, x₃, x_4, x₅,x₆ ), Х ≥ 0

A = (a_ij)_m*n – матрица размерности m*n, столбцами которой являются вектор-столбцы A_j

A = ;B =

Запись стандартной задачи в матричном виде:

Найти максимальное значение функции f(x) = CX,

при условиях AX ≤ B ,

где C = (-3; 6; -2), X = (x₁, x₂, x₃), Х≥0,

A = ; B = ;

3. Решить ЗЛП симплекс-методом;

Определим максимальное значение целевой функции:

max f = 3x₁ - 6x₂ + 2x₃

при следующих условиях-ограничений:

x_i 0,i = 1,…,6

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:

x_i 0, i = 1,…,6

max f = 3x₁ - 6x₂ + 2x₃

Введем искусственные переменные x: в 2-м равенстве вводим переменную x₇; в 3-м равенстве вводим переменную x₈;

Для постановки задачи на максимум целевая функция :

F(X) = 3x₁-6x₂+2x₃ - Mx₇ - Mx₈ → max

За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.

Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.

Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₇ = 8-x₁-4x₂-8x₃+x₅

x₈ = 2-x₃+x₆

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 3x1-6x2 + 2x3 - M(8-x1-4x2-8x3+x5) - M(2-x3+x6) → max

или

F(X) = (3+M)x1+(-6+4M)x2+(2+9M)x3+(-M)x5+(-M)x6+(-10M) → max

Матрица коэффициентов A = a_ij этой системы уравнений имеет вид:

A =

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₄, x₇, x₈

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,6,0,0,8,2)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	6	3	3	2	1	0	0	0	0
x7	8	1	4	8	0	-1	0	1	0
x8	2	0	0	1	0	0	-1	0	1
f(x0)	10M	-3 - M	6 – 4M	-2-9M	0	M	M	0	0

Алгоритм симплекс-метода:

Итерация №0.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее:

min (6 / 2 , 8 / 8 , 2 / 1 ) = 1

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.3

Разрешающий элемент равен (8) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Пересчет симплекс-таблицы:

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₇ в план 1 войдет переменная x₃. Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₇ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=8. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₃ и столбец x₃ Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СTЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (8), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	4	2	2	0	1		0	-	0
x7	1			1	0	-	0		0
x8	1	-	-	0	0		-1		1
f(x0)	10M	-3 - M	6 – 4M	-2-9M	0	M	M	0	0

Итерация №1.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₅, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i5 и из них выберем наименьшее: min (4 / ¹/₄ , - , 1 / ¹/₈ ) = 8

Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (¹/₈) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₈ в план 2 войдет переменная x₅.

Строка, соответствующая переменной x₅ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₈ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1/8

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x₅ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены, строка x₅ и столбец x₅. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	2	3	3	0	1		2	-	-2
x7	2			1	0	-	-1		1
x8	8	-	-	0	0		-8		8
f(x0)	4	-3	6	0	0	0	-2	M	2 + M

Итерация №2

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее: min (2 / 3 , - , - ) = ²/₃ Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₄ в план 3 войдет переменная x₁. Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=3. На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1. В остальных клетках столбца x₁ плана 3 записываем нули. Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4		1	1	0
x7	2			1	0	-	-1		1
x8	8	0	-3	0			-7		7
f(x0)	6	0	9	0	1	0	0	M	M

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Это окончательный вариант симплекс-таблицы.

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Оптимальный план можно записать так:

x_опт: x₁ = ²/₃, x₂ = 0, x₃ = 2;

fmax(X) = 3•²/₃ -6•0 + 2•2 = 6;

4. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.

max f = 3x₁ - 6x₂ + 2x₃

Так как исходная задача была на максимум, двойственная задача будет на минимум, причем коэффициенты при переменных в целевой функции соответствуют правым частям ограничений, число переменных равно числу ограничений исходной задачи и равно трем.

min f^* = 6*y₁ + 8*y₂ + 2*y₃

Строим ограничения, транспонируя матрицу коэффициентов в ограничениях:

A = ;A^T = ;

Так как все переменные были неотрицательны, все ограничения будут иметь знаки . Правые части ограничений – это коэффициенты при переменных в исходной целевой функции.

y₁ 0; y₂ 0; y₃ 0;

Решение двойственной задачи найдем с помощью теорем двойственности.

По первой теореме двойственности:

Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. F_max = F^*_min

fmax = f^*min = 6;

Используем вторую теорему двойственности: так как в оптимальном решении исходной задачи х₁ ≠0 и х₂ ≠0, то на оптимальном решении двойственной задачи первое и второе ограничения двойственной задачи выполняется как равенство. Подставим х_опт в ограничения исходной задачи, получим, что второе и третье ограничение выполняются как строгие неравенства, значит y₂=0, . Получаем систему:

;;

Решение двойственной задачи: у_опт=(1; 0; 0 )

min f^* = 6*y₁ + 8*y₂ + 2*y₃ = 6 *1 + 8*0 + 2*0 = 6

min f^* = 6