Задание 3.

Даны функция и ограничения.

Задачи, поставленные в данном задании.

1. Составить функцию Лагранжа;

2. Найти стационарную точку функции Лагранжа;

3. Найти условный экстремум функции (экстремальную точку, экстремальное значение и тип экстремума.)

Решение:

1. Составить функцию Лагранжа.

Используем метод множителей Лагранжа:

Обозначив

φ₁(x₁,x₂,x₃) = 4x₁ – 2x₂ + 2x₃

φ₂(x₁,x₂,x₃) = 7x₁ + 5x₂ – 3x₃

где φ_i(x) - ограничения в неявном виде (i=1..n), что аргументы функции связаны уравнением  x , y , z  0 , называемым уравнением связи.

Функция Лангранжа имеет вид:

L(x_1,x₂,…,x_n) = f(x_1,x₂,…,x_n) +

Константы λ_k ,(k = 1,….,m) называют множителями Лагранжа.

В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации является

Функция Лагранжа имеет вид:

L(x₁,x₂,x_3x,λ) = 12x₁² + 9x₂² + 5x1₁x₂ – 9x₁x₃ – 2x₂x₃ – 35x₁ – 60x₂ + 20x₃ + λ₁(4x₁ – 2x₂ + 2x₃ - 200) + λ₂(7x₁ + 5x₂ – 3x₃ - 400)

2. Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным x_i неопределенным множителям λ.

Для нахождения стационарной точки найдем частные производные первого порядка и составим систему уравнений.

;

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой

Решение системы даёт координаты точки (или системы точек), в которой возможен условный экстремум.

Решив данную систему уравнений с помощью Microsoft Excel, получим

x₁ =47,99; x₂ = 38,07; x₃ = 42,09; λ₁ = 24,29; λ₂ = -146,49;

Мы получили одну стационарную точку M (-0,28;1,85;2,41).

3. Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, необходимо вычислить матрицу Гессе для точки M.

Дана функция

Найдем частные производные :

= 24x₁ + 5x₂ – 9x₃ – 35;

= 18x₂ + 5x₁ – x₃ – 60;

= 4x₃ – 9x₁ – 2x₂ + 20;

Прировняв частные производные к 0, составим систему уравнений и найдем координаты стационарной точки.

Получили стационарную точку: M (-3,15; 3,64; -10.27)

Найдем второй частный дифференциал:

= 24; = 5;= -9;

= 5; = 18;= -2;

= -9; = -1;= 4;

Достаточное условие экстремума функции:

Используем второй дифференциал.

d²f = f_x1x1’’dx₁² + 2f_x1x2’’dx₁dx₂ + 2f_x1x3’’dx₁dx₃ +2f_x2x3’’dx₂dx₃ + f_x2x2’’dx² + f_x3x3’’dx₃²

d²f = 24 + 2*5 + 2*(-9) + 2*(-1) + 18 + 4 = 36

В стационарной точке M (-3,15; 3,64; -10.27) d²f > 0, эта точка локального минимума.

Значение функции в данной точке равно f (-3,15; 3,64; -10.27) = -138,026

Ответ:

1. Функция Лагранжа имеет вид:

L(x1,x2,x3x,λ) = 12x12 + 9x22 + 5x11x2 – 9x1x3 – 2x2x3 – 35x1 – 60x2 + 20x3 + λ1(4x1 – 2x2 + 2x3 - 200) + λ2(7x1 + 5x2 – 3x3 - 400)

2. Cтационарная точка функции Лангранжа M (-0,28;1,85;2,41).

И собств. числа: λ1 = 24,29; λ2 = -146,49

3. В стационарной точке M (-3,15; 3,64; -10.27) d2f > 0, эта точка локального минимума.

Значение функции в данной точке равно f (-3,15; 3,64; -10.27) = -138,026

Задание 4.

Составить математическую модель и найти оптимальное решение, используя процедуру “поиск решения” (“solver”) MS Excel.

Условие задачи:

Двум погрузчикам равной мощности за 24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 т, на второй 168 т. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 т в час, на второй - 12 т. Второй погрузчик на каждой площадке может погрузить по 13 т в час. Стоимость погрузки 1 т первым погрузчиком на первой площадке равна 8 тыс. руб., на второй 7 тыс. руб., вторым погрузчиком на первой площадке - 12 тыс. руб., на второй - 13 тыс. руб. Первый погрузчик на второй площадке может работать не более 16 час. Найти такой план работ, чтобы стоимость работ была минимальной.

Решение:

Введем обозначения:

х₁₁ – время работы первого погрузчика на первой площадке;

х₁₂ – время работы первого погрузчика на второй площадке;

х₂₁ – время работы второго погрузчика на первой площадке;

х₂₂ – время работы второго погрузчика на второй площадке.

х₁₁ 0, х₁₂ 0, х₂₁ 0, х₂₂ 0.

По условию, первый погрузчик на второй площадке может работать не более 16 часов, значит:

х₁₂16

Ограничения на лимиты рабочего времени:

на первой площадке необходимо погрузить 230 т.: х₁₁ + х₂₁ = 230;

на второй площадке необходимо погрузить 168 т., т.е.: х₁₂ + х₂₂ = 160

Составим математическую модель задачи:

Общая стоимость погрузки (целевая функция):

F =8000х₁₁+7000 х₁₂+12000 х₂₁+13000 х₂₂

Найти такой план работ, чтобы стоимость работ была минимальной:

F(x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂) =8000х₁₁+7000 х₁₂+12000 х₂₁+13000 х₂₂→min.

При ограничениях на переменные:

х₁₁+ х₂₁ = 230,

х₁₂+ х₂₂ = 168,

х₁₁ /10+ х₁₂ /12  24,

х₂₁ /13+ х₂₂ /13  24,

х₁₁ /10+ х₂₁ /13  24,

х₁₂ /12+ х₂₂ /13  24,

х_ij 0; х₁₂ /1216;

Для решения задачи воспользуемся помощью процедуры “Поиск решения” MS Excel.

Рис. №1

Итак, по оптимальному плану первый погрузчик должен погрузить 100 т. на первой площадке и 168 т. на второй, второму погрузчику надлежит погрузить 130 т. на первой площадке. Стоимость всех работ составит 3536 тыс. руб.

Ответ:

Решая поставленную задачу, был найден план работ такой, чтобы стоимость работ была минимальной.

Первый погрузчик должен отработать на первой площадке 10 часов, на второй – 14. Второй погрузчик – 10 часов на первой площадке.

Минимальная стоимость работ составляет 3 536 тыс. руб.