Занятия 4. Элементы математической логики. Контрольные вопросы.
1. Что такое понятие, объем понятия, содержание понятия? В чем особенность математических понятий?
2. В чем состоит отношение рода и вида для понятий? Приведите примеры понятий, находящихся в отношении рода и вида
а) из области математики;
б) из области языковых дисциплин;
в) из других дисциплин.
3. Приведите структуру явного определения понятия; примеры явных определений.
4
. Дайте
определение высказывания. Приведите
примеры истинных и ложных высказываний
и примеры предложений, не являющихся
высказываниями.
5. Что называется одноместной высказывательной формой? n-местной высказывательной формой? Приведите примеры высказывательных форм. Дайте определение множества истинности высказывательной формы.
6. Как определяется конъюнкция высказываний? Составьте таблицу истинности конъюнкции.
7. Что такое конъюнкция высказывательных форм? Как найти множество истинности конъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?
8. Дайте определение дизъюнкции высказываний. Составьте таблицу истинности дизъюнкции.
9. Сформулируйте определение дизъюнкции высказывательных форм. Как определить множество истинности дизъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?
10. Как определяется отрицание высказываний и высказывательных форм? Приведите примеры отрицаний.
Упражнения.
1. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:
а) многоугольник и треугольник;
б) угол и острый угол;
в) луч и прямая;
г) ромб и квадрат;
д) круг и окружность?
2. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношение между объемами понятий a,bиc, если:
а) а - четырехугольник;
b-трапеция;
с - прямоугольник;
б) а - натуральное число, кратное 3;
b-натуральное число, кратное 4;
с - натуральное число.
3. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия; родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
б) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
4. Какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие высказывательными формами:
а) 3x+2=4;
б)
существует х такое, что 
;
в)
(
)
x+y=y+x;
г) y=5 является решением уравнения y-4=1.
5. Среди приведенных ниже предложений найдите высказывания и установите их значения истинности:
а) (15+3)*(6-4) = 36;
б)
;
в) число 4,7N;
г) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;
д) (14+х) = 34;
е) число z – трехзначное;
ж) четное число – это число, которое делится на 2.
6. Какие предложения из задания № 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них вместо переменной значение так, чтобы получилось а) истинное; б) ложное высказывание. Найдите множество истинности для каждой высказывательной формы.
7. Можно ли считать высказывательными формами записи:
а) х2 – 2х ; б) 4х + 2y ;
в) число 3 является корнем уравнения х2 – 9 = 0 ?
8. Обозначьте элементы высказываний буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов логики:
-в параллелограмме ABCD угол A прямой и диагонали взаимно перпендикулярны;
-число 12 двузначное и кратно 2 или трем.
9. Найдите значения истинности следующих
высказываний и дайте соответствующие
пояснения: а) 15 кратно 3 и 12 кратно3; б)
или
;
в) 53; г) х = 2 является
корнем уравнения х2= 9 или решением
неравенства 2х – 1 < 3; д) –2 < 3 < 1/
10. Даны высказывания:
A: “Сегодня ясно”;
B: “Сегодня идет дождь”;
C: “Сегодня идет снег”;
D: “Я пойду в гости”.
Сформулируйте следующие высказывания:
1) A
;
2)
;
3)
.
11. Являются ли следующие высказывания отрицанием друг друга:
а)Число 253- простое. Число 253- составное.
б)
Угол 
-
тупой. Угол 
острый.
12.Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицания следующих утверждений:
а) Четырехугольник ABCD – прямоугольник или параллелограмм.
б) Число 14 – четное и делится на 3.
13. Найдите множества истинности высказывательных форм P(x): “x2 – 4 = 0” и Q(x): “3x – 2 17”, если их область определения есть: 1) R; 2) N.
14. На множестве М = {1, 2, …, 20} заданы высказывательные формы: А(x): “x не делится на 5”, В(х): “х - четное”, С(х): “х - простое”, D(x): “х делится на 3”. Найти множества истинности следующих высказывательных форм:
а)
б)
в)
г)
д)
15. Выясните, какие из высказывательных форм являются тождественно истинными:
а) х2 + у2 0;
б) х2 + 1 (х + 1)2;
в) sin2x + cos2x = 1;
г) (х + 1)2 х – 1.