Глава 03 Прямая и плоскость

плоскость , а на прямой b − точка пересечения этой прямой с проекцией прямой на плоскость .

Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b оп-

ределяется как минимально возможное значения величины d . По-

этому расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равно расстоянию между порожденными ими параллельными плоскостями

( и ), которые были определены выше.

Расстояние между параллельными плоскостями можно найти как модуль результата подстановки в левую часть нормированного уравнения одной из этих плоскостей соответствующих координат начальной точки другой плоскости. Искомое расстояние можно най-

ти и как длину высоту h параллепипеда, построенного на векторах

M1M2 , p и q , опущенной на основание, являющееся параллело-

граммом, построенным на векторах p и q . В этом случае, вспоми-

ная геометрическую интерпретацию модуля смешанного произведе-

ния векторов и модуля векторного произведения (теоремы 2.20 и 2.22), получим

Условия пересечения двух прямых в пространстве

Две не параллельные прямые в пространстве либо являются скрещивающимися, либо пересекаются. В первом случае расстояние между ними отлично от нуля, а во втором оно равно нулю, т.е. равно

146 Глава 3. Прямая и плоскость

нулю смешанное произведение векторов M1M2 , p и q , что следу-

ет из формулы (3.25).

ется с прямой, заданной начальной точкой M2(x2, y2,z2) и направ-

ляющим вектором q (q1,q2,q3), тогда и только тогда когда равно

нулю смешанное произведение векторов M1M2 , p и q :

Вычисление углов

Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в

сумме равные π. Если плоскости не перпендикулярны, то один из этих углов острый, а другой − тупой. Традиционно углом между

двумя плоскостями называют острый угол.

Пусть две плоскости 1 и 2 заданы своими общими уравне-

ниями A1x B1y C1z D1 0 и A2x B2y C2z D2 0 . Тогда векторы

n1 (A1,B1,C1) и n2 (A2,B2,C2) − векторы нормалей этих плоско-

стей. Если вектор n1 является вектором нормали плоскости 1 , то и вектор n1 также будет вектором нормали этой плоскости. Угол

Углом между прямыми a1 и a2 назовем угол между на-

правляющими векторами этих прямых p и q , если этот угол ост-

рый, или между направляющими векторами прямых p и q , в про-

тивном случае.

Имеем

14 Прямым, если плоскости перпендикулярные.

148 Глава 3. Прямая и плоскость

Углом между прямой a и плоскостью называют угол

между этой прямой и ее проекцией на плоскость .

Угол дополнительный до прямого угла к острому углу

между направляющим вектором прямой p (p1, p2, p3) и нормаль-

ным вектором плоскости n (A,B,C): , где

2

Таким образом, во всех трех случаях необходимо найти ост-

рый угол между линиями действия двух векторов. Пусть это будут векторы a (a1,a2,a3) и b (b1,b2,b3) .Искомый угол обозначим

символом . По формуле (2.11) имеем

и наш угол равен арккосинусу правой части последнего равенства.