Глава 03 Прямая и плоскость

помнить, что пока нет системы координат – не может быть и урав-

нений, и в разных системах координат один и тот же геометриче-

ский объект имеет, вообще говоря, отличные друг от друга уравне-

ния.

Любой раздел, где имеются уравнения, должен начинаться словами: введем систему координат . Если это не сказано прямо,

то, по крайней мере, подразумевается.

Полярная система координат

На плоскости часто употребляется полярная система коор-

динат. Полярная система координат определяется точкой O, назы-

ваемой полюсом, и исходящим из полюса лучом, который называют

полярной осью. Кроме того, указывается единица масштаба. Поло-

жение точки M фиксируется двумя числами: радиусом r OM и

полярным углом между полярной осью и вектором OM . У полю-

са r 0, а не определено. Для остальных точек r 0, а опре-

делено с точностью до слагаемого, кратного 2 . Это означает, что пары чисел (r, ), (r, 2 k), где k – любое целое число, пред-

ставляют собой полярные координаты одной и той же точки. Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условиями,

например, считают, что 0 2 . Это устраняет неоднозначность,

но зато приводит к другим неудобствам.

Существуют задачи, связанные с непрерывным перемежени-

ем точки по плоскости, в которых целесообразно отказаться от огра-

ничений на полярные координаты. Так, при вращении точки по ок-

ружности, удобно считать, что при большом числе оборотов поляр-

ный угол этой точки может принимать значения, большие 2π. Пусть точка перемещается по прямой линии, проходящей через полюс. В

этом случае естественно полагать, что при переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак. Разумеется, что в подобных случаях границы изменения полярных координат должны оговариваться особо.

Совместим ось Ox декартовой прямоугольной системы коор-

динат Oxy с полярной осью, а ось Oy направим под прямым углом к ней. Нетрудно показать, что в таких системах координат декартовы

иполярные координаты любой точки связаны соотношениями

xr cos , y r sin ;

3.2.Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками

Рассмотрим две точки A и B, координаты которых относи-

тельно некоторой декартовой прямоугольной системы координат

Oxyz равны соответственно xA, yA, zA и xB, yB, zB .

Теорема 3.1. Чтобы найти координаты вектора, из координат его конечной точки следует вычесть соответствующие координаты его начальной точки.

Доказательство очевидно.

Деление отрезка в заданном отношении

Найдем координаты точки C на отрезке AB, которая делит этот отрезок в отношении 5, т.е. удовлетворяет условию

5 Здесь предполагается, что точка C лежит внутри отрезка AB и поэтому 0. При 0 точка C совпадает с точкой A , а при 0 точка

C располагается вне отрезка AB. Точки C и B всегда различны.

(рис. 3.2). Это условие можно записать в виде AC CB .

Полагая, что координаты точек A, B, C относительно некоторой де-

картовой прямоугольной системы координат Oxyz равны соответст-

венно xA, yA, zA , xB, yB, zB и xC, yC , zC , найдем (теорема 3.1),

что

(xC xA) (xB xC ),

(yC yA) (yB yC ),

(zC zA) (zB zC ) .

Поскольку 0, то из последних формул получим

Эти формулы известны как формулы деления отрезка в заданном отношении. Они определяют искомые координаты точки C

Очевидно, что если , то точка C делит отрезок AB попо-

лам. В этом случае

Формулы (3.3) называются формулами деления отрезка пополам.

Формулы (3.2) позволяют легко вычислить координаты центра тяжести системы материальных точек. Как известно из

отрезок в отношении m1 /m2 . Последовательно используя формулы

Соответствующие формулы имеют место и для координат yC , zC .

3.3.Различные уравнения плоскости и прямой

Способы задания плоскости и прямой

Вначале главы отмечалось, что плоскость, причем только одну, определяют:

три точки, не принадлежащие одной прямой;

прямая и не принадлежащая ей точка;

точка и прямая перпендикулярная плоскости;

две пересекающиеся прямые;

две не совпадающие параллельные прямые.

Анализ возможных способов задания плоскости показывает,

что, используя понятие вектора, плоскость, причем только одну,

можно определить, указав какую либо точку M0 , принадлежащую плоскости (начальная точка плоскости) и задавая, помимо точки,

либо два неколлинеарных вектора p и q , линии действия которых параллельны плоскости (направляющие векторы плоскости), либо вектор n , линия действия которого перпендикулярна плоскости

(вектор нормали плоскости6). В качестве начальной точки плоско-

сти может быть взята любая точка этой плоскости.

Эти два способа задания плоскости взаимно обусловлены.

Всегда в качестве вектора нормали плоскости можно взять вектор,

являющийся векторным произведением любых двух её направляю-

щих векторов, т.е. считать, что n p, q , а если известен нормаль-

ный вектор, то не составляет труда найти два ортогональных ему неколлинеарных вектора.

Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую, ко-

торой принадлежат все их общие точки. Поэтому две пересекаю-

щиеся плоскости задают прямую, причем только одну. Любая кон-

кретная прямая принадлежит бесконечно большому числу плоско-

стей, поэтому одну и ту же прямую могут определять разные пары плоскостей, хотя далеко не всегда очевидно то, что ими определяет-

ся одна и та же прямая.

6 Вместо термина «вектор нормали плоскости» может быть использован термин «нормальный вектор плоскости».

принадлежащей прямой, и вектора p , линия действия которого ей параллельна. Точку M0 принято называть начальной точкой пря-

мой7, а вектор p – направляющим вектором прямой. Так задать пря-

мую линию можно и в пространстве и на плоскости. Кроме того, на плоскости имеется еще одна возможность определить прямую – на-

чальной точкой M0 и вектором нормали (нормальным вектором)

прямой n : на плоскости через заданную точку M0 перпендикуляр-

но заданной прямой, направление которой задает вектор n , прохо-

дит одна и только одна прямая.

Общее уравнение плоскости

Введем некоторую систему координат Oxyz. Зададим плос-

кость её начальной точкой M0(x0, y0,z0,) и вектором нормали

n (A,B,C). Пусть M(x, y,z) − произвольная точка. Рассмотрим вектор M0M . По теореме 3.1 M0M (x x0, y y0,z z0).

Очевидно следующее утверждение.

Точка M принадлежит плоскости в том и только в том слу-

чае, если вектор M0M ортогонален вектору n , а это возможно

тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов

7 Начальной точкой прямой может быть выбрана любая точка этой прямой.

122 Глава 3. Прямая и плоскость

равно нулю (теорема 2.14), т.е. в том и только в том случае, если

(формула 2.9)

A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0

где D Ax0 By0 Cz0 .

Таким образом, равенство (3.4) является уравнением плоско-

сти , так как ему удовлетворяют координаты всех точек и только точек этой плоскости. Уравнение (3.4) называют общим уравнением

плоскости. Вектор нормали плоскости n (A,B,C) не может быть нулевым, поэтому, по крайней мере, одна из его координат A, B или

C должна быть отлична от нуля.

Как известно, координаты точки относительно одной систе-

мы координат являются линейными функциями координат той же точки относительно любой другой системы8. Следовательно, в лю-

бой системе координат Oxyz плоскость имеет общее уравнение вида (3.4), хотя и с другими коэффициентами.

Равенство (3.4) при любых возможных значениях коэффици-

ентов A, B, C, D представляет собой общее уравнение плоскости,

вектор нормали которой имеет координаты A, B, C, а координаты начальной точки могут быть, например, если С 0, такими9:

8Это будет показано в следующей главе.

9Напомним, что в роли начальной точки плоскости может выступать каждая точка этой плоскости.

Обратите внимание на то, что, зная общее уравнение плоско-

сти, очень просто записать вектор нормали этой плоскости – его ко-

ординаты совпадают с коэффициентами общего уравнения, стоящи-

ми соответственно перед переменными x, y, z.

Можно получить общее уравнение плоскости и в том случае,

когда плоскость задается начальной точкой M0(x0, y0,z0) и направ-

ляющими векторами p (p1, p2, p3) и q (q1,q2,q3). Очевидно следующее утверждение.

Точка M принадлежит плоскости в том и только в том слу-

чае, если векторы M0M , p и q компланарны, а это возможно то-

гда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю (теорема 2.23), т.е. в том и только в том случае, если

(формула 2.24)

Раскрывая определитель в левой части уравнения (3.5) полу-

чим общее уравнение плоскости , которое в точности совпадет с уравнением (3.4), если положить n p, q . Это непосредственно вытекает из определения смешанного произведения векторов.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты A, B, C и D отличны от нуля. Если хотя бы один из этих коэффициентов равен нулю, то уравнение называется непол-

ным.

Рассмотрим примеры неполных общих уравнений плоскости.

При D = 0 общее уравнение Ax By Cz 0 представляет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку коорди-

наты начала координат удовлетворяют этому уравнению).

Если A = 0, то уравнение By Cz D 0 определяет плос-

кость, параллельную оси Ox, ибо этой оси перпендикулярен вектор нормали этой плоскости n (0,B,C).

Когда равны нулю первые два коэффициента уравнения плоскости, т.е., A B 0, то уравнение Cz D 0 задает плос-

кость, параллельную координатной плоскости Oxy – вектор нормали рассматриваемой плоскости n (0,0,C) является одновременно и вектором нормали координатной плоскости Oxy.

Другие возможные неполные общие уравнения плоскости рассмотрите самостоятельно.

Коэффициенты общего уравнения плоскости несут в себе важную информацию о расположении плоскости относительно сис-

темы координат. Так коэффициенты A, B, C, стоящие перед пере-

менными x, y, z суть соответствующие координаты вектора нор-

мали плоскости, а коэффициент D говорит о том, проходит плос-

кость через начало координат (в этом случае D 0) или нет (тогда